[論文レビュー] Kernel function and quantum algebras

Boris Feigin, Ayumu Hoshino+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、対称関数のテンソル積と非特異な $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上の可換代数の上の量子カーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ を導入し、テーブル式の和公式を通じてマクドナルド多項式と関連付ける。レベル $ m $ の Ding-Iohara 量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ の表現が、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数のカレントを生成することを示し、$ K_n $ が最高ウェイトから最高ウェイトへの相関関数として自然に現れることを示している。

ABSTRACT

We introduce an analogue $K_n(x,z;q,t)$ of the Cauchy-type kernel function for the Macdonald polynomials, being constructed in the tensor product of the ring of symmetric functions and the commutative algebra $\mathcal{A}$ over the degenerate $\mathbb{C} \mathbb{P}^1$. We show that a certain restriction of $K_n(x,z;q,t)$ with respect to the variable $z$ is neatly described by the tableau sum formula of Macdonald polynomials. Next, we demonstrate that the integer level representation of the Ding-Iohara quantum algebra naturally produces the currents of the deformed $\mathcal{W}$ algebra. Then we remark that the $K_n(x,z;q,t)$ emerges in the highest-to-highest correlation function of the deformed $\mathcal{W}$ algebra.

研究の動機と目的

• 対称関数の環 $ \Lambda_{\mathbb{F}} $ と非特異な $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上の可換代数 $ \mathcal{A} $ のテンソル積における量子カーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ を構成すること。
• $ K_n(x,z;q,t) $ の制限形がマクドナルド多項式のテーブル式の和公式によって記述されることを示すこと。
• Ding-Iohara 量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ のレベル $ m $ 表現が、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数のカレントを生成することを示すこと。
• $ K_n(x,z;q,t) $ が、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数において最高ウェイトから最高ウェイトへの相関関数として現れることを確立すること。

提案手法

• $ \mathbb{F} = \mathbb{Q}(q_1,q_2) $ 上の可換代数 $ \mathcal{A} $ を定義し、$ \partial^{(0,k)} $ および $ \partial^{(\infty,k)} $ の作用を導入し、$ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上の非特異性を強制する。
• $ \omega(x,y) = \frac{(x-q_1y)(x-q_2y)(x-q_3y)}{(x-y)^3} $ という有理関数を用いて $ \mathcal{A} $ 上の積 $ * $ を定義し、$ \operatorname{Sym} $ を用いて対称化を行う。
• $ q_1 = q^{-1}, q_2 = t, q_3 = qt^{-1} $ とおくことにより、テンソル積 $ \Lambda_{\mathbb{F}} \otimes \mathcal{A} $ 上のカウチ核の類似物としてカーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ を構成する。
• マクドナルド多項式のテーブル式の和公式を用いて、$ K_n $ の $ z $ に関する制限を記述し、対称関数論と直接的な関係を確立する。
• Ding-Iohara 量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ のレベル $ m $ 表現を通じて、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数のカレントを実現する。
• オペレータ積展開と頂点演算子の構成を用いて、$ K_n(x,z;q,t) $ が変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数において最高ウェイトから最高ウェイトへの相関関数として現れることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異な $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ を用いた代数と対称関数のテンソル積において、量子カーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ をどのように構成できるか。
• RQ2 $ K_n(x,z;q,t) $ の $ z $ に関する制限は、マクドナルド多項式のテーブル式の和公式とどのように関係するか。
• RQ3 Ding-Iohara 量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ のレベル $ m $ 表現が、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数のカレントをどのように生成するか。
• RQ4 $ K_n(x,z;q,t) $ は、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数の相関関数において、特に最高ウェイトから最高ウェイトへのチャネルでどのような役割を果たすか。
• RQ5 オペレータ積展開や頂点演算子の恒等式といった、$ K_n $ の出現を支える代数的構造は何か。

主な発見

• カーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ は、$ x $ と $ z $ に関して対称的な有理関数として構成され、$ \mathbb{F} = \mathbb{Q}(q,t) $ に値をとる $ \Lambda_{\mathbb{F}} \otimes \mathcal{A} $ の中に存在する。
• $ K_n(x,z;q,t) $ のある制限形は、マクドナルド多項式のテーブル式の和公式により明確に記述され、対称関数論と直接的な関係が確立される。
• Ding-Iohara 量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ のレベル $ m $ 表現は、頂点演算子の実現を通じて、自然に変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数のカレントを生成する。
• カーネル関数 $ K_n(x,z;q,t) $ は、オペレータ積展開の明示的計算により、変形された $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数における最高ウェイトから最高ウェイトへの相関関数として現れる。
• $ \Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w) $ のオペレータ積展開は、$ f_{1,m}(w/z) \Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w) = :\Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w): $ を満たし、$ f_{1,m} $ は変形された $ \mathcal{W} $ 代数の構造定数を符号化している。
• 関連する頂点演算子積の $ k $ 番目のテンソル成分が明示的に計算され、$ \widetilde{\Lambda}_i^*(p^{(m-2)/2}z) $ の成分と一致することが確認され、カレント代数とカーネル関数との間の同型が裏付けられた。