[論文レビュー] Key graph properties affecting transport efficiency of flip-flop Grover percolated quantum walks

Jan Mareš, Jaroslav Novotný+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の有限連結単純グラフ上におけるフラップフロップグローバー透過量子ウォークの捕獲状態の完全基底を構成する一般手法を開発し、漸近的輸送効率の正確な計算を可能にする。グラフの幾何構造、ソース／シンクの配置、デッドエンド部分グラフのような構造的特徴が輸送に顕著に影響することを明らかにした。一部の構成では、漸近的輸送確率の閉形式式が得られる。

ABSTRACT

Quantum walks exhibit properties without classical analogues. One of those is the phenomenon of asymptotic trapping -- there can be non-zero probability of the quantum walker being localised in a finite part of the underlying graph indefinitely even though locally all directions of movement are assigned non-zero amplitudes at each step. We study quantum walks with the flip-flop shift operator and the Grover coin, where this effect has been identified previously. For the version of the walk further modified by a random dynamical disruption of the graph (percolated quantum walks) we provide a recipe for the construction of a complete basis of the subspace of trapped states allowing to determine the asymptotic probability of trapping for arbitrary finite connected simple graphs, thus significantly generalizing the previously known result restricted to planar 3-regular graphs. We show how the position of the source and sink together with the graph geometry and its modifications affect the excitation transport. This gives us a deep insight into processes where elongation or addition of dead-end subgraphs may surprisingly result in enhanced transport and we design graphs exhibiting this pronounced behavior. In some cases this even provides closed-form formulas for the asymptotic transport probability in dependence on some structure parameters of the graphs.

研究の動機と目的

• 平面的3正則グラフに限らない、すべての有限連結単純グラフに対する透過グローバー量子ウォークにおける捕獲状態の分類を拡張すること。
• 頂点次数、連結性、部分グラフトポロジーなどの、漸近的輸送効率を支配する主要なグラフ特性を同定すること。
• 捕獲状態の完全基底を体系的に構成するためのレシピを提供し、漸近的輸送確率の正確な計算を可能にすること。
• 延長やデッドエンド部分グラフの追加といった構造的変更が、予期しないほど輸送効率を向上させることを示すこと。

提案手法

• 有向辺および自己ループを有する状態グラフにおけるフラップフロップグローバー量子ウォークの形式的定義。
• グローバー銭作用素とフラップフロップシフト作用素を用いてユニタリ時間発展を定義すること。
• 動的透過を、漸近的ダイナミクスを安定化させ、捕獲状態を明らかにするための確率的破壊機構として導入すること。
• 行列ブロック解析と対称性制約を用いて、吸引子（ウォーク時間発展の固有状態）であるための必要十分条件を導出すること。
• すべての非p-吸引子が恒等作用素（自明な非p-吸引子）とp-吸引子の線形結合であることを示すことにより、捕獲部分空間の完全性を証明すること。
• 構造的対称性と頂点次数制約を用いて捕獲状態を分類し、輸送確率を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフトポロジーと頂点次数分布は、透過グローバー量子ウォークにおける捕獲状態の存在と構造にどのように影響するか？
• RQ2 ソースおよびシンクの配置は、漸近的輸送効率にどのような役割を果たすか？
• RQ3 デッドエンド部分グラフを追加する、またはパスを延長することは、量子ウォークにおける輸送効率を向上させ得るか？
• RQ4 漸近的輸送確率が閉形式の解析的表現をもつための条件は何か？
• RQ5 任意の有限連結単純グラフに対して、捕獲状態の完全基底を体系的に構成する方法は何か？

主な発見

• 本稿では、フラップフロップグローバー透過量子ウォークにおいて、任意の有限連結単純グラフに対して捕獲状態の完全基底を構成する一般レシピを確立した。
• 捕獲状態は、恒等作用素とp-吸引子によって張られ、それ以外の独立な非p-吸引子は存在しないことが示された。
• 延長された部分やデッドエンド部分グラフを有するグラフは、対称性と固有状態構造のおかげで、予期しないほど漸近的輸送確率を向上させることがある。
• 特定のグラフクラスに対しては、頂点次数や部分グラフ次元といった構造的パラメータに依存する閉形式の漸近的輸送確率が導出された。
• ソースとシンクの位置関係とグラフ幾何構造の相互作用が、輸送効率に決定的要因となることが示され、非単調な挙動が観察された。
• 透過の導入により漸近的ダイナミクスが単純化され、生存する捕獲状態が明らかになり、輸送確率の正確な分類と計算が可能になった。