[論文レビュー] Kinematics of vector fields

Sawa Manoff|ArXiv.org|Mar 2, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、微分可能多様体上に反変および共変アフィン接続と計量を備えたベクトル場のための、非標準的な縮約作用素を用いて双対空間を定義し、リー微分と共変微分の両者と整合性を保つ、画期的な運動論的枠組みを提案する。主な貢献は、相対速度および相対加速度を用いた自己平行ベクトル場の分類であり、歪み、回転、拡張成分を含む。曲率に起因する加速度が消えるための条件は、リッチテンソルの制約を用いて導出される。

ABSTRACT

Different (not only by sign) affine connections are introduced for contravariant and covariant tensor fields over a differentiable manifold by means of a non-canonical contraction operator, defining the notion dual bases and commuting with the covariant and with the Lie-differential operator. Classification of the linear transports on the basis of the connections between the connections is given. Notion of relative velocity and relative acceleration for vector fields are determined. By means of these kinematic characteristics several other types of notions as shear velocity, shear acceleration, rotation velocity, rotation acceleration, expansion velocity and expansion acceleration are introduced and on their basis auto-parallel and non-isotropic (non-null) vector fields are classified.

研究の動機と目的

• 反変および共変アフィン接続と計量を備えた多様体上におけるベクトル場の統一的運動論的枠組みの構築を目的とする。
• 非標準的な縮約作用素を用いて、相対速度および相対加速度を基本的な運動論的量として定義する。
• 曲率に起因する歪み、回転、拡張のない運動論的特徴が満たされる場合に自己平行ベクトル場を分類する。
• 曲率に起因する加速度が消えるための必要十分条件を導出し、特にリッチテンソルの制約を用いる。
• 一般相対性理論の一般化理論、特にアインシュタイン＝カルタン理論やカユラ＝クライン型モデルを含む物理系の幾何的基礎を提供する。

提案手法

• 非標準的な縮約作用素を導入し、双対空間を定義するとともに、反変および共変テンソル場におけるリー微分と共変微分の整合性を確立する。
• 与えられた方向に沿ったベクトル場の共変微分の差から得られるテンソル量として、相対速度および相対加速度を定義する。
• 歪み、回転、拡張の速度および加速度を、相対加速度から得られる変形テンソルの対称および反対称成分として定義する。
• 曲率作用素と計量を用いて定義されるリッチテンソルを用い、曲率に起因する加速度成分（例：拡張加速度に対して I = Ricci(u,u)）を表現する。
• 自己平行ベクトル場を分類するために、特定の運動論的成分（例：sM=0, N=0, I=0）をゼロとし、曲率および計量に関する必要条件を導出する。
• 座標および非座標基底を用いて一般のテンソル的条件を導出し、基底変換に対して不変であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反変および共変アフィン接続と計量を備えた多様体上におけるベクトル場に対して、相対速度および相対加速度を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 反変ベクトル場が曲率に起因する歪み、回転、または拡張加速度をもたないための必要十分条件は何か？
• RQ3 自己平行ベクトル場の運動論的特徴（歪み、回転、拡張）は、曲率テンソルおよびリッチテンソルとどのように関係するか？
• RQ4 曲率に起因する加速度が消えるベクトル場が現れる幾何的・物理的文脈は何か？また、一般相対性理論に与える意味は何か？
• RQ5 この運動論的枠組みを、特に歪み加速度に関連する信号を検出するための重力波信号の検出にどのように応用できるか？

主な発見

• 曲率に起因する歪みおよび回転加速度がゼロ（sM=0, N=0）である反変ベクトル場が存在するための条件は、曲率作用素が K = (1/(n−1))·g[K]·h^u を満たすことである。
• 曲率に起因する拡張加速度がゼロ（I=0）であるベクトル場が存在するための必要十分条件は、Ricci(u,u) = 0 であり、すなわちリッチテンソルが u の方向で消えることである。
• 拡張加速度がゼロであるための十分条件は、座標基底においてリッチテンソルが恒等的にゼロであること：R_ij = 0 である。
• 曲率に起因する加速度がゼロであるベクトル場の存在は、真空中に存在する重力波検出器のモデル化において極めて重要であり、真空中では拡張加速度ではなく歪み加速度のみが検出可能である。
• この形式的枠組みは、重力波応答の種別を可能にする幾何的基盤を提供し、真空中では歪み加速度が主な検出可能な信号である。