[論文レビュー] Kinetical theory beyond conventional approximations and 1/f-noise

Yuriy E. Kuzovlev|ArXiv.org|Mar 23, 1999

Fractal and DNA sequence analysis参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分子的混沌性などの従来の近似を越える運動論の再定式化を提示し、ハミルトニアン系における短距離ダイナミクスから1/fノイズ（フレイクターノイズ）が自然に生じることを示している。これは、遅い過程や長寿命の相関が存在しない場合でも成立する。主な結果は、衝突事象における粒子保存則を正しく取り入れる（無限個の運動論的積分方程式の連鎖を通じて）ことで、自己拡散度および移動度における内因性の1/f揺動が生じることであり、1/fノイズがボルツマン＝グラス限界下での非平衡統計力学の一般的特徴であることを示している。

ABSTRACT

The 1/f-noise is considered which has no relation to long-lasting processes but originates from the same dynamical mechanisms as what are responsible for the loss of memory, fast relaxation and usual shot noise. The universal long-range statistics of memoryless random flows of events and of related Brownian motion is analysed whose peculiarity is close connection between spectral properties and non-Gaussian probabilistic properties both determined by only short-range characteristic time scales. The exact relations between equilibrium and non-equilibrium 1/f-noise in thermodynamical systems are presented. The existence of long-living higher-order correlations and flicker noise in the Kac's ring model is demonstrated. It is shown that conventional Boltzmannian gas kinetics losses 1/f-noise because incorrectly takes into account the conservation of particles and probabilities in collision events. The correctly performed translation of BBGKY hierarchy into kinetical language, under Boltzmann-Grad limit, results in infinite chain of kinetical equations which describe probability distributions on the hypersurfaces corresponding to encounters and collisions of particles. These equations can be reduced to Boltzmann's equation only in the limit of spatially uniform gas, but generally forbid the molecular chaos. If being applied to Brownian motion of gas particles, the theory yields 1/f fluctuations of self-diffusivity and mobility. This is example of Hamiltonian dynamics which produces 1/f-noise without any slow processes and long life-times.

研究の動機と目的

• 長寿命の過程や遅いダイナミクスが存在しない系において1/fノイズが生じるというパラドックスを解消すること。
• 衝突における粒子数および確率保存則の誤った取り扱いにより、従来の運動論（例えばボルツマン方程式）が1/fノイズを捉えられないことの原因を特定すること。
• ボルツマン＝グラス限界下における多体系のイベント駆動型確率過程を正しく記述する運動論的形式を構築すること。
• 高次相関を適切に取り入れた場合、1/fノイズが非平衡統計力学における普遍的特徴となることを示すこと。
• 自己拡散度および移動度における1/f揺動が、外部仮定なしにハミルトニアン力学から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• ボルツマン＝グラス限界下でBBGKY階層から無限個の運動論的積分方程式を導出し、粒子の遭遇および衝突の超曲面上の確率分布を記述する。
• 衝突事象における粒子数および確率の正確な保存則を適用し、分子的混沌性の仮定を回避する。
• 記憶のないイベントフローの統計的性質とそれに関連するブラウン運動を分析し、短距離時間スケールを介してスペクトル的性質と非ガウス確率的性質を結びつける。
• カックのリングモデルを用いて、確定的でハミルトニアン的な系においても長寿命の高次相関および1/fノイズが存在することを示す。
• 標準的なボルツマン方程式が1/fノイズを記述できないのは、記憶の喪失と局所的平衡の仮定を内蔵しているためであり、これが保存則を破る。
• 形式をブラウン運動に適用し、無限個の積分方程式の連鎖から出発して、自己拡散度および移動度における1/f揺動を正確に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長寿命の過程や遅い緩和が存在しないハミルトニアン系において、1/fノイズが生じ得るか？
• RQ2 なぜ従来の運動論（例えばボルツマン方程式）は1/fノイズを記述できないのか？
• RQ3 衝突時に粒子数および確率保存則を保つ正しい運動論的形式は何か？
• RQ4 イベント駆動系における1/fノイズのスペクトル的性質と非ガウス的確率的性質の関係は何か？
• RQ5 自己拡散度などの輸送係数における内因性の1/f揺動を、多体系において原理的（first principles）に導出できるか？

主な発見

• 従来のボルツマン方程式は、分子的混沌性を誤って仮定し、衝突における粒子数および確率の保存則を無視するため、1/fノイズを失う。
• ボルツマン＝グラス限界下でBBGKY階層から導かれた無限個の運動論的積分方程式の連鎖は、衝突ダイナミクスを正しく記述し、保存則を保つ。
• この形式は分子的混沌性の仮定を禁止し、長寿命の過程が存在しない状況でも自然に1/fノイズを生じさせる。
• カックのリングモデルにおいて、確定的で有限な系でも高次相関および1/fノイズが存在することが示された。
• ブラウン運動に適用した場合、理論は自己拡散度および移動度における正確な1/f揺動を導き出し、これがハミルトニアン力学の根本的特徴であることを示した。
• 1/fノイズのスペクトル的性質と非ガウス的性質は、すべて短距離時間スケールによって完全に決定され、長距離記憶や遅い変数とは無関係である。