[論文レビュー] Kitaev's Lattice Model and Turaev-Viro TQFTs

Benjamin Balsam, Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、有限次元半単純ホップ代数に対するキタエフの格子模型とトゥレイヴェル＝ヴィロのトポロジカル量子場理論（TQFT）の間で、明確な数学的同型関係を確立する。閉じた曲面上でのキタエフ模型の基底状態空間が、同じホップ代数から構成されたトゥレイヴェル＝ヴィロ不変量空間に同型であることを証明し、さらに励起状態が境界を持つ曲面上のトゥレイヴェル＝ヴィロ理論に対応することを示している。また、Anyon的励起はホップ代数のドリンフェルト双対の既約表現として実現されることが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper, we examine Kitaev's lattice model for an arbitrary complex, semisimple Hopf algebra. We prove that this model gives the same topological invariants as Turaev-Viro theory. Using the description of Turaev-Viro theory as an extended TQFT, we prove that the excited states of the Kitaev model correspond to Turaev-Viro theory on a surface with boundary.

研究の動機と目的

• 半単純ホップ代数を用いたキタエフの格子模型の数学的に厳密かつ理解しやすい定式化を提供すること。
• 閉曲面上でのキタエフ模型の基底状態空間が、トゥレイヴェル＝ヴィロ不変量空間に同型であることを確立すること。
• キタエフ模型の励起状態が、境界を持つ曲面上のトゥレイヴェル＝ヴィロ理論に対応することを示すこと。
• キタエフ模型におけるAnyonの物理的および位相的解釈を、ホップ代数のドリンフェルト双対の既約表現として明確にすること。

提案手法

• 有限次元半単純ホップ代数 R から、その余乗法と双対構造を用いてキタエフ格子模型のヒルベルト空間とハミルトニアンを構成する。
• スウィードラー記法と R に属するヘア積分 h ∈ R を用いて、R-加群のテンソル積における不変部分空間への射影を定義する。
• ドリンフェルト双対 D(R) を用いて、局所的Anyon的励起を D(R) の既約表現として分類する。
• 曲面の三角形分割を用いて、キタエフ模型のヒルベルト空間とストリングネット模型のヒルベルト空間との間に同型を確立する。
• キタエフ模型の Bp 演算子がストリングネット模型の Bps 演算子に一致することを示し、ハミルトニアンの同値性を証明する。
• 境界を持つ曲面への拡張として、励起状態が穴あきまたは境界付き曲面上のトゥレイヴェル＝ヴィロ不変量に対応することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キタエフの格子模型（半単純ホップ代数を用いて）は、トゥレイヴェル＝ヴィロ TQFT とどのように関係しているか？
• RQ2 キタエフ模型の基底状態とトゥレイヴェル＝ヴィロ不変量空間との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 キタエフ模型の励起状態は、トゥレイヴェル＝ヴィロ理論の文脈において、どのようにAnyon的統計を実現するか？
• RQ4 キタエフ模型は境界付き曲面上の拡張TQFTとして解釈可能か？ もしそうならば、その方法は何か？
• RQ5 ドリンフェルト双対 D(R) は、キタエフ模型におけるAnyon的励起を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 閉曲面上でのキタエフ格子模型の基底状態空間は、同一の半単純ホップ代数から構成されたトゥレイヴェル＝ヴィロ不変量空間に同型である。
• キタエフ模型の励起状態は、局所的ユニタリ変換に対して不変なトポロジカルなセクターと、ドリンフェルト双対 D(R) の既約表現に対応する局所的励起セクターに分解される。
• ヒルベルト空間間の同型の下で、キタエフ模型のハミルトニアン作用素 Bp がストリングネット模型の Bps 作用素と等価であることが示された。
• この対応関係は境界付き曲面へと拡張可能である：キタエフ模型の励起状態は、穴あきまたは境界付き曲面上のトゥレイヴェル＝ヴィロ理論と同型である。
• ヘア積分 h ∈ R は、任意の R-加群のテンソル積における不変部分空間への射影として作用し、その反復余乗法 Δ(n−1)(h) は巡回不変性を保つ。
• モデルは、ドリンフェルト双対 D(R) の既約表現によってラベル付けられたAnyon的励起として実現され、このモデルにおける準粒子がAnyon的性質を有することを確認した。