[論文レビュー] KMS states for generalized gauge actions on Cuntz-Krieger algebras (An application of the Ruelle-Perron-Frobenius Theorem)

Ruy Exel|ArXiv.org|Oct 17, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非周期的でゼロ・ワン行列 A が無限大に発散する場合、および Hölder 継続的で正の重み関数 H を持つ一般化されたゲージ作用について、KMS 状態の存在と一意性を確立する。Ruelle の Perron-Frobenius 定理をマルコフ移行空間上の転送作用素に適用することで、KMS 状態が存在する唯一の逆温度 β が存在することを証明し、この状態は経路空間上の一意な不変確率測度から得られ、条件付き期待値を介して C*-代数に持ち上げられる。

ABSTRACT

Given a zero-one matrix A we consider certain one-parameter groups of automorphisms of the Cuntz-Krieger algebra O_A, generalizing the usual gauge group, and depending on a positive continuous function H defined on the Markov space Σ_A. The main result consists of an application of Ruelle's Perron-Frobenius Theorem to show that these automorphism groups admit a single KMS state.

研究の動機と目的

• 周期的および非周期的ゲージ作用の KMS 理論を、Cuntz-Krieger 代数上の一般化されたゲージ作用へと拡張すること。
• マルコフ移行空間 Σ_A 上の正の連続関数 H によって定義される一パラメータ自己同型群の KMS 状態の存在と一意性を特徴づけること。
• Cuntz-Krieger 代数上の KMS 状態と経路空間上での Ruelle 転送作用素の不動点との間の対応関係を確立すること。
• 転送作用素のスペクトル的性質を用いて、KMS 状態が存在する逆温度 β を特定すること。
• 与えられた条件下で、一般化されたゲージ作用に対して基底状態が存在しないことを示すこと。

提案手法

• Cuntz-Krieger 代数 O_A に、γ_t(S_j) = H^{it} S_j を満たす一般化されたゲージ作用 γ_t を定義する。ここで H はマルコフ移行空間 Σ_A 上の正の連続関数である。
• O_A を、シフト写像 σ によって誘導される自己準同型による C(Σ_A) のクローズド積として表現することで、作用素代数的手法を用いることを可能にする。
• [7] の定理 9.6 を適用し、KMS 状態の存在を求める問題を、転送作用素 L_φ* の固定点である Σ_A 上の確率測度 ν を求める問題に還元する。
• Ruelle の Perron-Frobenius 定理を用いて、L_φ* (ν) = ν を満たす確率測度 ν が存在し、かつ一意であることを確立する。ここで φ = -β log H である。
• O_A 上の唯一の KMS 状態 ψ が、ψ = ν ∘ G と表されることを示す。ここで G は O_A から C(Σ_A) への標準的条件付き期待値である。
• 逆温度 β が、転送作用素 L_φ のスペクトル半径 λ(β) が 1 に等しいという条件 λ(β) = 1 を満たすことで一意に定まることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたゲージ作用が Cuntz-Krieger 代数上で KMS 状態を許容する条件は何か？
• RQ2 行列 A が非周期的かつ非周期的であり、H が Hölder 継続的である場合、KMS 状態は一意か？
• RQ3 KMS 状態の逆温度 β は、重み関数 H を用いてどのように特定されるか？
• RQ4 O_A 上の KMS 状態と Ruelle 転送作用素の下での不変測度との関係は何か？
• RQ5 このような一般化されたゲージ作用に対して基底状態は存在するか？

主な発見

• KMS 状態が存在する唯一の逆温度 β > 0 が存在し、これは λ(β) = 1 という条件によって定まる。ここで λ(β) は Ruelle 転送作用素 L_φ のスペクトル半径である。
• この一意な β に対して、φ = -β log H であるとき、L_φ* (ν) = ν を満たす Σ_A 上の唯一の確率測度 ν が存在し、KMS 状態の一意性が保証される。
• O_A 上の KMS 状態 ψ は、ψ = ν ∘ G と一意に与えられる。ここで G は O_A から C(Σ_A) への標準的条件付き期待値である。
• 一般化されたゲージ作用は、[7:10.1] における基底状態条件の解が存在しないことから、基底状態を有さない。
• この結果は、O_n および O_A 上の周期的および非周期的ゲージ作用に関する以前の結果を一般化し、Ruelle の定理を用いた統一的枠組みによって統合する。
• A が非周期的かつ非周期的であり、H が Σ_A 上で Hölder 継続的かつ 1 より大きいという条件下で、KMS 状態の一意性が成立する。