[논문 리뷰] Knapsack Problem variants of QAOA for battery revenue optimisation

Pierre Dupuy de la Grand'rive, Jean-François Hullo|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 있는 배터리 수익 최적화 문제를 다루기 위해 두 가지 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA) 변종을 제안한다. 이 문제는 제약 조건이 있는 0-1 배낭 문제로 모델링된다. 첫 번째 방법은 이징 해밀토니안에 이차 페널티를 적용하지만 얕은 회로 깊이에서 수렴하지 못한다. 두 번째 방법은 비-이징, 선형 페널티 접근법을 사용하며, O(n log n) 큐비트와 O(p(log₂ n)³)의 실행 시간을 가지며, p ≤ 10일 때 최적해의 95% 이내의 근사값을 달성하여 얕은 회로로 비-이징 문제를 효과적으로 해결할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We implement two Quantum Approximate Optimisation Algorithm (QAOA) variants for a battery revenue optimisation problem, equivalent to the weakly NP-hard Knapsack Problem. Both approaches investigate how to tackle constrained problems with QAOA. A first 'constrained' approach introduces a quadratic penalty to enforce the constraint to be respected strictly and reformulates the problem into an Ising Problem. However, simulations on IBM's simulator highlight non-convergent results for intermediate depth ($ p\leq 50$). A second 'relaxed' approach applies the QAOA with a non-Ising target function to compute a linear penalty, running in time $O(p(\log_2 n)^3)$ and needing $O(n \log n)$ qubits. Simulations reveal an exponential improvement over the number of depth levels and obtain approximations about $0.95$ of the optimum with shallow depth ($p \leq 10$).

연구 동기 및 목표

• 배터리 수익 최적화 문제를 제약 조건이 있는 0-1 배낭 문제로 모델링하여 해결한다.
• 현재의 이징 형식에 국한된 구현을 넘어, 비-이징 목표 함수에 QAOA를 적용할 수 있는지 조사한다.
• 특히 페널티 기반 방법을 통해 제약 조건을 다루는 QAOA의 제약 최적화 전략을 평가한다.
• 근일 양자 알고리즘에서 회로 깊이, 큐비트 수, 해의 품질 간의 상호 상충 관계를 탐색한다.
• QAOA가 얕은 깊이의 회로로 선형 제약 조건과 비-이징 목표 함수를 효과적으로 처리할 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 용량 제약 조건을 강제하기 위해 이차 페널티를 사용하는 '제약 조건이 있는' QAOA 변종을 제안하며, 문제를 이징 해밀토니안으로 재구성한다.
• 비-이징 목표 함수와 선형 페널티 항을 사용하는 '완화된' QAOA 접근법을 개발하여 해 공간이 과도하게 제약되지 않도록 한다.
• 비용 계산, 제약 조건 테스트, 페널티 디프레이징, 재초기화의 다중 서브루틴 아키텍처를 도입하며, 각각 제어 큐비트 덧셈기와 보조 큐비트를 사용해 구현한다.
• O(n log n) 큐비트를 사용하고, O(p(log₂ n)³)의 회로 깊이 복잡도를 달성하여 문제 크기에 따라 효율적으로 스케일링된다.
• 제약 조건 위반이 발생할 경우에만 단계 이동을 적용하는 페널티 해밀토니안을 도입하여 타당한 해에 대한 연속적인 최적화를 가능하게 한다.
• p 단계로 구성된 변분 양자 회로를 사용하며, 기대 수익을 최대화하기 위해 고전 최적화를 통해 각각의 각도 β와 γ를 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA는 선형 제약 조건이 있는 수익 최대화와 같은 비-이징 목표 함수에 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 얕은 회로 깊이에서 제약 조건이 있는 배낭 문제에 대해 QAOA에서 선형 페널티 접근법이 이차 페널티보다 우월한가?
• RQ3 실제 최적화 문제에 대한 QAOA 구현에서 큐비트 수와 회로 깊이 사이의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ4 p ≤ 10일 때 완화된 QAOA 접근법이 배터리 수익 최적화 문제에서 최적해를 얼마나 잘 근사하는가?
• RQ5 QAOA는 이징 형식의 페널티를 사용하지 않고도 배터리 용량과 열화와 같은 복잡한 현실 세계의 제약 조건을 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 이차 페널티를 사용하는 제약 조건이 있는 QAOA 접근법은 IBM 시뮬레이터에서 p ≤ 50의 회로 깊이에서도 시뮬레이션 결과 수렴하지 못했으며, 얕은 회로에서의 불안정성을 보였다.
• 완화된 QAOA 접근법은 오직 p ≤ 10의 회로 단계만으로 최적해의 95% 이내의 근사값을 달성하여 얕은 깊이에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 완화된 접근법은 O(n log n) 큐비트를 요구했으며, 전체적으로 O(p(log₂ n)³)의 회로 깊이 복잡도를 가지며 효율적인 스케일링이 가능했다.
• 시뮬레이션 결과, 페널티가 포함된 완화된 QAOA가 무제약 버전보다 특히 문제 크기가 클수록 뚜렷하게 우수한 성능을 보였다.
• 결과적으로 비-이징 목표 함수에 선형 페널티를 적용하는 것이 QAOA에 대해 실현 가능하고 효과적이며, 이는 QAOA의 적용 범위를 이징 형식을 넘어서 확장시킨다.
• 연구는 QAOA가 하드웨어 제약이 있는 근일 양자 장치에서도 선형 제약 조건과 복잡한 목표 함수를 효과적으로 처리할 수 있음을 경험적 증거로 제시한다.