[論文レビュー] Kolmogorov Complexity and Solovay Functions

Laurent Bienvenu, Rod Downey|ArXiv.org|Feb 6, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、prefix-free Kolmogorov複雑性 K の計算可能上界であり、無限回にわたって K と一致する Solovay 関数を導入し、∑2⁻ᶠ⁽ˣ⁾ の収束を通じて左-c.e. Martin-Löf 無作為実数と同等であることを確立する。さらに、Solovay 関数が Martin-Löf 無作為性および K-自明性を特徴づけることを示し、Miller-Yu および Levin-Schnorr の定理を通じて鋭い特徴づけを提供する。

ABSTRACT

Solovay proved that there exists a computable upper bound f of the prefix-free Kolmogorov complexity function K such that f (x) = K(x) for infinitely many x. In this paper, we consider the class of computable functions f such that K(x) <= f (x)+O(1) for all x and f (x) <= K(x) + O(1) for infinitely many x, which we call Solovay functions. We show that Solovay functions present interesting connections with randomness notions such as Martin-Löf randomness and K-triviality.

研究の動機と目的

• すべての x に対して K(x) ≤ f(x) + O(1) であり、無限個の x に対して f(x) ≤ K(x) + O(1) であるような計算可能関数 f のクラスを形式化し、研究すること—これを Solovay 関数と呼ぶ。
• アルゴリズム的無作為性の観点から Solovay 関数を精確に特徴づけること、具体的には ∑₂⁻ᶠ⁽ˣ⁾ が左-c.e. Martin-Löf 無作為実数である関数とちょうど一致することを示すこと。
• Solovay 関数が Martin-Löf 無作為性および K-自明性といった無作為性の概念を特徴づける役割を調査すること。
• Solovay 関数を用いて Martin-Löf 無作為性および K-自明性の鋭い特徴づけを提供することにより、Miller-Yu や Levin-Schnorr の古典的結果を拡張すること。

提案手法

• Solovay 関数を、すべての x に対して K(x) ≤ f(x) + O(1) であり、無限個の x に対して f(x) ≤ K(x) + O(1) である計算可能関数 f として定義する。
• 計算可能関数 f が Solovay 関数であるための必要十分条件として、∑ₓ 2⁻ᶠ⁽ˣ⁾ が有限であり、かつ左-c.e. Martin-Löf 無作為実数であることを証明する。
• Kraft-Chaitin 定理を用いて、f が示唆する境界を実現する prefix-free マシンの構成を行う。
• Miller-Yu の定理を応用し、任意の Solovay 関数 f に対して、ある列 α が Martin-Löf 無作為であることは、すべての n に対して K(α↾n) ≤ f(n) + O(1) であることと同値であることを示す。
• ∑₂⁻ᵏ < ∞ であるような c.e. 集合 L を構成し、Solovay 関数 g に対して K(α↾n) ≤ g(n) + O(1) が成り立つならば α が K-自明であることを証明する。
• K(n) の推定値の変化に応じて動的に見なしを更新する段階的構成法を用い、過剰なカウントを避けるために各段階でのペア数を制限することで、正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての x に対して K(x) ≤ f(x) + O(1) であり、無限個の x に対して f(x) ≤ K(x) + O(1) であるような計算可能関数 f のクラスは、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 Solovay 関数は、∑ₓ 2⁻ᶠ⁽ˣ⁾ の収束性および無作為性によって完全に特徴づけられるか？
• RQ3 Solovay 関数は Martin-Löf 無作為性および K-自明性とどのように関係するか？
• RQ4 Solovay 関数を用いたとき、plain 複雑性による Martin-Löf 無作為性の Miller-Yu 特徴づけは鋭いか？
• RQ5 すべての x に対して K(α↾n) ≤ g(n) + O(1) ならば α が K-自明であるような計算可能関数 g は、必ず Solovay 関数であるか？

主な発見

• 計算可能関数 f が Solovay 関数であるための必要十分条件は、∑ₓ 2⁻ᶠ⁽ˣ⁾ が有限であり、かつ左-c.e. Martin-Löf 無作為実数であることである。
• Levin-Schnorr の Martin-Löf 無作為性の特徴づけは鋭い：列 α が Martin-Löf 無作為であることは、K(α↾n) ≤ n + O(1) かつ Solovay 関数 f に対して ∑ₓ 2⁻ᶠ⁽ˣ⁾ が有限であることと同値である。
• 任意の Solovay 関数 f に対して、列 α が Martin-Löf 無作為であることは、すべての n に対して K(α↾n) ≤ f(n) + O(1) であることと同値である。
• 列 α が K-自明であることは、ある Solovay 関数 g に対して K(α↾n) ≤ g(n) + O(1) であることと同値である。
• c.e. 集合 L の構成により、∑₂⁻ᵏ < ∞ であり、(α↾n, K(n)) が最終的に L に含まれることが保証され、K-自明性が証明される。
• 戦略は K(n) の推定値の変化に動的に適応し、誤った仮定による過剰なカウントを避けるために、各段階でのペア数を制限することで正しさを保証する。