[论文解读] Kolmogorov Equations and Weak Order Analysis for SPDES with Nonlinear Diffusion Coefficient

Charles-Édouard Bréhier, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 5

一句话总结

本论文通过一种新颖的离散双向随机积分公式，为具有非线性扩散系数的一类非线性SPDE的Kolmogorov方程解建立了新的正则性估计。关键贡献是将弱收敛阶分析推广至非仿射噪声情形，证明在系数满足一般假设下，隐式Euler格式的收敛率为 $\Delta t^{1/2 - \kappa}$。

ABSTRACT

We provide new regularity results for the solutions of the Kolmogorov equation associated to a SPDE with nonlinear diffusion coefficients and a Burgers type nonlinearity. This generalizes previous results in the simpler cases of additive or affine noise. The basic tool is a discrete version of a two sided stochastic integral which allows a new formulation for the derivatives of these solutions. We show that this can be used to generalize the weak order analysis performed in [16]. The tools we develop are very general and can be used to study many other examples of applications.

研究动机与目标

• 将SPDE数值格式的弱收敛阶分析从加性噪声或仿射噪声情形推广至更一般情形。
• 在无穷维设定下，为转移半群及Kolmogorov方程的解建立新的正则性估计。
• 提出一种基于离散双向随机积分的通用框架，以分析Kolmogorov解的导数。
• 将先前工作（如[20]）中关于弱收敛率的结果推广至具有非线性扩散系数的SPDE。
• 为包含非线性项与乘性噪声的广泛SPDE类提供可适用的基础框架。

提出的方法

• 引入双向随机积分的离散版本，以重新表达Kolmogorov解的导数，从而实现新的正则性估计。
• 利用Malliavin微积分与转移半群的结构，控制Kolmogorov方程解的导数。
• 基于SPDE的弱形式与导数过程的演化，采用扰动分析方法。
• 利用半群性质与时间离散化动力学，推导Malliavin导数的先验估计。
• 通过插值与预解估计，在 $L^q$-空间中建立导数过程的矩界。
• 利用离散双向积分控制弱收敛阶分析中的误差项，特别是展开式中三阶项的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将SPDE数值格式的弱收敛阶分析从加性或仿射噪声情形推广至具有非线性扩散系数的情形？
• RQ2 在具有非线性扩散的无穷维设定下，Kolmogorov方程的解可建立何种正则性性质？
• RQ3 如何利用离散双向随机积分公式表示并控制Kolmogorov方程解的导数？
• RQ4 对于此类SPDE，隐式Euler格式在弱收敛意义下的收敛率可达多少？
• RQ5 本文所发展的工具在多大程度上可推广至其他具有非线性项与乘性噪声的SPDE？

主要发现

• 本论文为具有非线性扩散系数的SPDE所关联的Kolmogorov方程解建立了新的正则性估计，将结果从加性或仿射噪声情形推广至更一般情形。
• 离散双向随机积分公式使得Kolmogorov解导数的新型表示成为可能，这对误差分析至关重要。
• 在适当的光滑性与有界性假设下，对具有非线性扩散的SPDE应用隐式Euler格式，可获得 $\Delta t^{1/2 - \kappa}$ 阶的收敛率。
• 关键估计（引理6.1）以初始数据与时间步长表示Malliavin导数的 $L^q$-范数，其系数包含 $\Delta t^{1/2 - \kappa}$ 因子。
• 分析过程通过将误差精确分解为四个部分（$a_k$, $b_k$, $c_k$, $d_k$），并分别利用插值与预解估计进行有界性控制。
• 最终的总误差界包含一项 $\int_0^T (1 + (T-t)^{-(1 - \kappa)}) dt$，当 $\kappa < 1$ 时该积分有限，从而确保收敛率定义良好。