[論文レビュー] Kovalevskaya Top and Generalizations of Integrable Systems

А. В. Борисов, И. С. Мамаев+1 more|ArXiv.org|Apr 1, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ポincare括弧のバンドル 𝒟ₓ 上での古典的可積分剛体系（コヴァレフスカヤ、チャプリン、ゴリャーチェフ＝チャプリン、ボゴヤヴレンスキー）を一般化し、分離変数および作用角変数を導入する。新たに提案された座標変換により、コヴァレフスカヤトップがニューマン系に還元され、テータ関数による明示的積分が可能となり、ガフェット系は立方積分を伴いバンドルに拡張され、L-Aペア構造が確認された。

ABSTRACT

Generalizations of the Kovalevskaya, Chaplygin, Goryachev-Chaplygin and Bogoyavlensky systems on a bundle are considered in this paper. Moreover, a method of introduction of separating variables and action-angle variables is described. Another integration method for the Kovalevskaya top on the bundle is found. This method uses a coordinate transformation that reduces the Kovalevskaya system to the Neumann system. The Kolosov analogy is considered. A generalization of a recent Gaffet system to the bundle of Poisson brackets is obtained at the end of the paper.

研究の動機と目的

• e(3)代数からポincareバンドル 𝒟ₓ への既知の剛体力学の可積分ケース（コヴァレフスカヤ、チャプリン、ゴリャーチェフ＝チャプリン、ボゴヤヴレンスキー）の一般化を目的とする。
• これらの一般化された系において、分離変数および作用角変数を導入する方法を開発することを目的とする。
• コヴァレフスカヤトップをニューマン系に還元することにより、バンドル上での新たな積分法を同定することを目的とする。
• 立方積分を有するガフェット系をポincareバンドルに拡張し、そのL-Aペア構造を確認することを目的とする。
• コロソフ類似性および2次カシミール関数の構造が、一般化された系において果たす役割を調査することを目的とする。

提案手法

• ポincare代数 𝒟ₓ を {Mᵢ, Mⱼ} = −εᵢⱼₖMₖ, {Mᵢ, γⱼ} = −εᵢⱼₖγₖ, {γᵢ, γⱼ} = −xεᵢⱼₖMₖ で定義し、2つの2次カシミール関数 l = (M, γ) および c = x(M, M) + (γ, γ) を持つ。
• コヴァレフスカヤトップのハミルトニアンをニューマン系に写像する座標変換を適用し、変数分離とテータ関数による明示的解法を可能にする。
• s₁, s₂座標への変換により分離変数を導出し、ハミルトニアンを H = ½(1−s₁²)(s₁a₁₂ + m₁)p₁² + ½(1−s₂²)(s₂a₁₂ + m₁)p₂² + 有理関数項 の形に変換する。
• 変数分離を達成するため、共共役運動量 pᵢ = 2ṡᵢ / [(1−sᵢ²)(sᵢa₁₂ + m₁)] を導入する。
• 一般化されたガフェット系のL-Aペアを構成し、LおよびA行列に γᵢ および (γ₁γ₂γ₃)¹ᐟ³ を含める。
• コロソフ類似性を用いて、一般化された系が既知の可積分構造（特に退化 Abel-Jacobi 方程式の文脈）と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コヴァレフスカヤ、チャプリン、ゴリャーチェフ＝チャプリン、ボゴヤヴレンスキー系は、e(3)からポincareバンドル 𝒟ₓ にどのように一般化可能か？
• RQ2 コヴァレフスカヤトップをニューマン系に還元することにより、バンドル上での新たな積分法が得られるか？
• RQ3 分離変数および作用角変数は、𝒟ₓ 上の一般化された可積分系において、どのように機能するか？
• RQ4 立方積分を有するガフェット系は、ポincareバンドルにどのように拡張され、そのL-Aペア構造を保持するか？
• RQ5 2次カシミール関数 l および c は、一般化された系の可積分性および構造に、どのように寄与するか？

主な発見

• バンドル 𝒟ₓ 上でのコヴァレフスカヤ積分は、F₃ = (M₁² − M₂² − 2γ₁ + x)² + (2M₁M₂ − 2γ₂)² に一般化され、可積分性が保持された。
• 新規の座標変換により、バンドル 𝒟ₓ 上のコヴァレフスカヤトップがニューマン系に還元され、テータ関数による明示的解法が可能となった。
• 分離変数は s₁, s₂ 座標を用いて導入され、ハミルトニアンは H = ¼(1−s₁²)(s₁a₁₂ + m₁)p₁² + ¼(1−s₂²)(s₂a₁₂ + m₁)p₂² + 有理関数項 の形に表現された。
• 作用変数は I = 1/(2π) ∫ p(s) ds で与えられ、変数分離形での完全可積分性が確認された。
• 一般化されたガフェット系は、バンドル上でもL-Aペア構造を保持しており、LおよびA行列は γᵢ および (γ₁γ₂γ₃)¹ᐟ³ を含む。
• ボゴヤヴレンスキー系では、変数分離に伴い2次元トーラスが1次元トーラスに分裂し、退化 Abel-Jacobi 方程式が出現した。