[論文レビュー] Krivine diffusions attain the Goemans--Williamson approximation ratio

Ronen Eldan, Assaf Naor|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特定のクリヴィーヌ拡散の一種である遅延付きスティッキー・ブラウン運動が、MAXCUT問題におけるゴエマンズ＝ウィリアムソンの近似比を達成することを確立している。時間変換されたブラウン運動の符号を高次元のベクトルの最適なラウンドリングに結びつけることで、著者らは、得られる符号の期待相関が、グロテンディックの恒等式を介して有名な $\pi/2$-近似比に一致することを証明した。

ABSTRACT

Answering a question of Abbasi-Zadeh, Bansal, Guruganesh, Nikolov, Schwartz and Singh (2018), we prove the existence of a slowed-down sticky Brownian motion whose induced rounding for MAXCUT attains the Goemans--Williamson approximation ratio. This is an especially simple particular case of the general rounding framework of Krivine diffusions that we investigate elsewhere.

研究の動機と目的

• アバシ＝ザデフら（2018）が提起した、ゴエマンズ＝ウィリアムソン比に達する確率的ラウンドリング過程の存在に関する未解決問題を解消すること。
• 遅延付きスティッキー・ブラウン運動が、最適近似比に一致するMAXCUT用のラウンドリングスキームを誘導することを示すこと。
• この結果を、クリヴィーヌ拡散の広範な枠組みの中の一部ではあるが、独立した貢献として、自己完結的な証明を提供すること。
• イト微積分とマルティンゲール表現を用いて、確率過程と組合せ最適化の間の接続を確立すること。

提案手法

• 方法は、確率積分 $\int_0^t e^{-s/2} \langle x, dB(s) \rangle$ を介して定義される時間変換ブラウン運動 $Z_x(t)$ を用いる。$t \to \infty$ のとき、この過程はほとんど確実にガウス確率変数に収束する。
• $Z_x(\infty)$ が単位ベクトル $u, v$ に対して内積 $\langle u, v \rangle$ と等しい共分散構造を持つことが示され、グロテンディックの恒等式による期待符号相関の評価が可能になる。
• $Z_x(\infty)$ の符号が、条件付き期待値を用いて導出されたマルティンゲール $M_u(t)$ と関連付けられる。このマルティンゲールは、クリヴィーヌ拡散過程 $W_u(t)$ と同じSDEを満たすことが示された。
• イトの公式を適用して $M_u(t)$ のSDEを導出し、そのドリフト係数 $\xi$ が標準正規分布関数に依存し、クリヴィーヌ拡散のダイナミクスと一致することを明らかにした。
• イトの定理によるSDEの解の一意性を用いて、$M_u(t)$ と $W_u(t)$ を同一視し、極限符号過程 $\sigma_u$ が $\mathrm{sign}(Z_u(\infty))$ と同じ分布に従うことを示した。
• 近似比を確認するために、鍵となる恒等式 $\mathbb{E}[\mathrm{sign}(Z_u(\infty))\mathrm{sign}(Z_v(\infty))] = \frac{2}{\pi}\arcsin(\langle u,v\rangle)$ が用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散に基づく確率的ラウンドリング過程は、MAXCUTのゴエマンズ＝ウィリアムソン近似比に達することができるか？
• RQ2 遅延付きスティッキー・ブラウン運動は、最適な $\frac{2}{\pi}$-近似比に一致するラウンドリングスキームを誘導するか？
• RQ3 時間変換ブラウン運動から得られる符号過程は、クリヴィーヌ拡散を用いて得られるものと分布的に同等か？
• RQ4 イト微積分とマルティンゲール理論を用いて、確率過程と組合せ最適化の間の接続を形式化できるか？
• RQ5 SDEに時間依存の拡散係数を用いることで、既知の最適境界に一致するラウンドリング手法が得られるか？

主な発見

• クリヴィーヌ拡散 $W_u(t)$ が誘導する符号過程 $\sigma_u$ は、ほとんど確実に $\mathrm{sign}(Z_u(\infty))$ に収束し、同一の分布的挙動を示すことが保証された。
• 符号間の期待相関 $\mathbb{E}[\sigma_u \sigma_v]$ は $\frac{2}{\pi}\arcsin(\langle u,v\rangle)$ に等しく、ゴエマンズ＝ウィリアムソン近似比を達成するために必要な正確な値である。
• $M_u(t) = \mathbb{E}[\mathrm{sign}(Z_u(\infty)) \mid \mathcal{F}_t]$ は、$W_u(t)$ と同じSDEを満たすため、パスワイズの一意性により、すべての $t$ に対して $W_u(t) = M_u(t)$ が成り立つ。
• イトの公式を用いて $M_u(t)$ のSDEが導出され、ドリフト係数 $\xi$ が標準正規分布関数に依存し、クリヴィーヌ拡散のダイナミクスと一致することが明らかになった。
• 極限符号過程 $\sigma_u$ は、結局のところ $\mathrm{sign}(Z_u(\infty))$ と同じ分布に従うことが示され、ラウンドリングスキームの最適性が確認された。
• この結果により、クリヴィーヌ拡散がMAXCUTの最高の既知の近似比に到達できることを確認し、分野における未解決問題が解決された。