[論文レビュー] Kuranishi structure, Pseudo-holomorphic curve, and Virtual fundamental chain: Part 1

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックトポロジーにおける仮想基本鎖（VFC）技法の厳密な基礎を、クルンシ型構造とマルチセクション摂動を用いて確立する。R係数上のド・ラーム風の構成と、1次元の場合の自己完備的Q係数バージョンを導入し、クルンシ型構造を持つ空間におけるVFCの構成のための体系的枠組みを提供する。応用として、擬全純曲線のモジュライ空間に適用可能である。

ABSTRACT

This is the first part of the article we promised at the end of [FOOO13, Section 1]. We discuss the foundation of the virtual fundamental chain and cycle technique, especially its version appeared in [FOn] and also in [FOOO4, Section A1, Section 7.5], [FOOO7, Section 12], [Fu2]. In Part 1, we focus on the construction of the virtual fundamental chain on a single space with Kuranishi structure. We mainly discuss the de Rham version and so work over $\mathbb R$-coefficients, but we also include a self-contained account of the way how to work over $\mathbb Q$-coefficients in case the dimension of the space with Kuranishi structure is $\le 1$. Part 1 of this document is independent of our earlier writing [FOOO13]. We also do not assume the reader have any knowledge on the pseudo-holomorphic curve, in Part 1. Part 2 (resp. Part 3), which will appear in the near future, discusses the case of a system of Kuranishi structures and its simultaneous perturbations (resp. the way to implement the abstract story in the study of moduli spaces of pseudo-holomorphic curves).

研究の動機と目的

• シンプレクティックトポロジーにおける仮想基本鎖（VFC）技法の完全で自己完備的な基礎を提供すること、特に擬全純曲線のモジュライ空間を対象とする。
• 微分幾何学および積分論と整合性を持つR係数上のド・ラーム版VFC構成を形式化すること。
• 1次元の場合のQ係数への拡張を図り、有理数係数の交線論およびサイクルレベルの構成を可能とすること。
• Gromov-Witten理論への応用に不可欠な摂動およびファイバー積に関して、VFCの整合性とwell-definednessを確立すること。
• 位相的・代数的構造と解析的構成を分離し、クルンシ空間系における代数的演算の厳密な定式化を可能とすること。

提案手法

• 擬全純曲線の特異なモジュライ空間を記述するための、オーロラフォルドの一般化としてのクルンシ型構造を導入する。
• 一貫した摂動理論およびファイバー積構成を可能とする、クルンシ型構造の改良版である良い座標系を定義する。
• 摂動および埋め込み技術を可能とする、クルンシ型構造の厚み付け（thickening）の概念を発展させる。
• 特異性が存在する状況における横断性を定義するための、マルチセクションおよびCF-摂動（コhomological摂動）の手法を導入する。
• クルンシ型構造および良い座標系におけるファイバーに沿った統合（プッシュアウト）を構成し、ファイバー統合を用いた不変量の定義に不可欠な役割を果たす。
• 良い座標系およびクルンシ型構造におけるストークスの公式の証明を行い、境界作用に関してVFCが閉じておりwell-definedであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クルンシ型構造を備えた単一の空間上で、仮想基本鎖をどのように厳密に構成できるか。
• RQ2 オーロラフォルド的特異性と妨害バンドルが存在する状況で、仮想サイクルを定義・操作するのに適切な枠組みは何か。
• RQ3 摂動およびファイバー積に関して、仮想基本鎖のwell-definednessと不変性をどのように保証できるか。
• RQ4 マルチセクションおよびCF-摂動は、ド・ラームまたは有理数係数コホモロジー設定におけるVFCをサイクルとして実現するために果たす役割は何か。
• RQ5 抽象的なVFCの仕組みを、擬全純曲線のモジュライ空間の研究においてどのように具体的に実装できるか。

主な発見

• CF-摂動とファイバーに沿った統合を用いて、R係数上のド・ラーム版仮想基本鎖が構成され、微分形式と整合的であることが保証される。
• マルチセクションとオーロラフォルド上のモース理論を用いて、1次元クルンシ空間におけるQ係数上の自己完備的VFC構成が達成された。
• ストークスの公式に基づき、仮想基本サイクルがwell-definedかつ閉じていることが示され、その位相的不変性が確認された。
• 正規バンドル上の拡張定理および同倫的議論により、整合的な摂動およびマルチセクションの存在が確立された。
• この枠組みは、クルンシ空間系における代数的構造（例えば合成公式）の構成を可能とし、Gromov-Witten不変量の定義を可能にする。
• 仮想基本鎖が同倫および埋め込みに関して不変であり、かつチャート全体にわたる摂動が一貫して拡張可能であることが証明された。