[論文レビュー] KYP Lemma for Non-Strict Inequalities and the associated Minimax Theorem

Alexandre Megretski|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2010

Optimization and Variational Analysis参考文献 1被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、離散時間および連続時間における非厳密不等式に対するカルマン＝ヤクビジェフ＝ポプロフ（KYP）補題の新しい定式化を提示し、周波数領域の条件と一般化されたリッカティ型方程式の解の存在との間の同値性を確立する。主な貢献は、スペクトル解析とフーリエ変換を用いて証明された、非厳密不等式下での積分二次制約（IQC）に対するミニマックス定理であり、ロバスト制御および最適制御理論への応用を含む。

ABSTRACT

Several variations of the classical Kalman-Yakubovich-Popov Lemma, as well the associated minimax theorem are presented.

研究の動機と目的

• 線形システム理論における非厳密不等式のKYP補題のアクセス可能な定式化の欠如に対処すること。
• 古典的なKYP結果を厳密な正定性を緩和した状況にまで拡張し、ロバスト制御および最適化分野におけるより広範な適用可能性を実現すること。
• 非厳密周波数領域条件下での積分二次制約（IQC）に対するミニマックス定理を確立すること。
• スペクトル解析およびフーリエ解析を用いた厳密な証明と、非厳密LMI問題の解法の構成的手法を提供すること。
• 周波数領域の不等式と状態空間の実現可能性および安定性条件との間の理論的ギャップを、周波数領域不等式と状態空間条件の間の接続によって埋めること。

提案手法

• 離散時間における2次形式と行列不等式との関係を導くために、平方完成の安定化手法を用いる。
• ユニット円周上（z ∈ ℂ, |z|=1）における伝達関数のスペクトル解析を適用し、周波数領域形式の正定性を特徴付ける。
• ℓ²空間における信号のフーリエ変換表現を用いて、2次汎関数をユニット円周上の積分として表現する。
• 非厳密LMIの実現可能性とユニット円周上における行列値関数の正定性（Π(z) ≥ 0 on ℂ₊）との同値性を導出する。
• スペクトル条件の下で、2次形式σ(v)、μ(w)、p(v,w)を用いたミニマックス枠組みにより、inf-supとsup-infの値の等価性を証明する。
• L²ノルムの上界評価とスペクトル行列の一様有界性を用いて、部分最適値の連続性および有界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非厳密周波数領域不等式が、一般化されたリッカティ方程式の解の存在と同値となる条件は何か？
• RQ2 古典的KYP補題を厳密な正定性を緩和した状況にまで拡張するには、状態空間の実現可能性と同値性を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 積分二次制約（IQC）の事後実現可能性解析におけるミニマックス等式の役割は何か？
• RQ4 ユニット円周上における伝達関数のスペクトル特性が、非厳密LMI条件の実現可能性をどのように決定づけるか？
• RQ5 フーリエに基づく表現を用いて、非厳密IQC仮定下でも最適値の連続性および有界性を確立できるか？

主な発見

• 非厳密KYP補題が成立する：安定化可能なペア(A,B)に対して、式(1.2)の平方完成方程式の解P ≥ 0の存在は、すべてのz ∈ ℂ, |z|=1（有限個の例外を除く）においてΠ(z) ≥ 0であることと同値である。
• 行列∫[Π₁₁ εΠ₁₂; εΠ₂₁ -Π₂₂] dm(z) がすべてのv ∈ ℓ²ₖ、w ∈ ℓ²_qおよびε > 0に対して半正定値である限り、inf sup g(v,w) = sup inf g(v,w) のミニマックス等式が成立する。
• Π₁₁(z₀) > 0 かつ ℂ 上でΠ₂₂(z) ≤ 0 であるとき、汎関数g(v,0)は下から有界であり、g(0,w)は上から有界であり、ミニマックス定理の条件を満たす。
• Π₁₁およびΠ₂₂がユニット円周上で一様有界であり、L²ノルムとσノルムが同値であることから、最適値の境界は連続である。
• 連続時間への応用は、連続時間フーリエ変換の使用により可能となり、v*およびaの同様の定義が得られる。
• 本研究の結果は、制御ハンドブックに掲載された積分二次制約に関する主張を検証および拡張しており、特にミニマックス手法を用いた事後実現可能性解析の観点から有効である。