[論文レビュー] $L^2$ estimates and vanishing theorems for holomorphic vector bundles equipped with singular Hermitian metrics

Takahiro Inayama|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異なヘルミート計量を備えた正則なベクトル束に対して、$L^2$ 評価とコhomologyの消滅定理を確立し、特異的かつ厳密にグリフィス正の計量を有する複素射影多様体を対象としている。一般に特異的状況におけるナカノ正性の定義が存在しないという点を回避することで、$ar{\partial}$-閉形式に対する$L^2$ 評価を証明し、Lelong数の条件の下で$H^q(X, K_X \otimes E \otimes \det E)$の消滅結果を導出する。これは、特異的状況における古典的グリフィスの消滅定理を一般化するものである。

ABSTRACT

We investigate singular Hermitian metrics on vector bundles, especially strictly Griffiths positive ones. $L^2$ esitimates and vanishing theorems usually require an assumption that vector bundles are Nakano positive. However there is no general definition of the Nakano positivity in singular settings. In this paper, we show various $L^2$ estimates and vanishing theromes by assuming that the vector bundle is strictly Griffiths positive and the base manifold is projective.

研究の動機と目的

• ベクトル束上の特異的ヘルミート計量におけるナカノ正性の一般的な定義の欠如に対処すること。
• 厳密にグリフィス正の特異的ヘルミート計量の下で、$L^2$ 評価とコhomologyの消滅定理を確立すること。
• 古典的$L^2$ 評価および消滅定理（例：グリフィスの消滅）を、複素射影多様体上の特異的計量状況に一般化すること。
• コhomological障害を用いて、特定の曲率および可積分性を持つグリフィス半正の特異的ヘルミート計量の非存在を示すこと。

提案手法

• 双対束の曲率測度を用いて、ベクトル束上の特異的ヘルミート計量における厳密グリフィス$\delta_\omega$-正性の概念を導入する。
• 特異的計量$h$が相対的コンパクト部分集合上で点単位で収束する近似滑らか計量$h_\nu$に対して、ホルマンダーの$L^2$ 評価を適用する。
• もし$h$が厳密にグリフィス$\delta$-正であれば、$h \otimes \det h$はナカノ正の計量のように振る舞い、$E \otimes \det E$-値形式に対する$L^2$ 評価が可能になることを利用する。
• 弱収束の議論を用いて、近似滑らか計量から特異的計量へと移行し、$L^2$ 範囲が保たれることを保証する。
• スキーダの可積分性定理を用いて、$\nu(-\log \det h, x) < 1$ のとき$1/\det^2 h^\star \in L^1_{\text{loc}}$ であることを示し、重みの可積分性を保証する。
• セール双対性および$\mathbb{P}^n$ 上での既知のコhomology計算を用いて矛盾を導出し、特定の計量の非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナカノ正性の一般的な定義が存在しない特異的ヘルミート計量を備えた正則ベクトル束に対して、$L^2$ 評価と消滅定理を確立することは可能か？
• RQ2 特異的ヘルミート計量の厳密グリフィス正性が、$E \otimes \det E$-値$(n,q)$-形式に対する$ abla$-閉形式の$L^2$ 評価を示唆するか？
• RQ3 $-\log \det h$ のLelong数にどのような条件下で$H^q(X, K_X \otimes E \otimes \det E)$が消えるか？
• RQ4 コhomological障害を用いて、特定の曲率および可積分性を持つグリフィス半正の特異的ヘルミート計量の非存在を証明できるか？

主な発見

• 定理1.1は、$E$-値$(n,n)$-形式に対する$L^2$ 評価を確立する：$\int_X |g|^2_{h,\omega} dV_\omega \leq \frac{1}{\delta n} \int_X |f|^2_{h,\omega} dV_\omega$ が $\bar{\partial}g = f$ のとき成り立つ。
• 系1.2は、すべての$x \in X$に対して$\nu(-\log \det h, x) < 2$ であれば、$H^n(X, K_X \otimes E) = 0$ であることを示す。
• 定理1.3は、$E \otimes \det E$-値$(n,q)$-形式に対する$L^2$ 評価を提供する：$\int_X |g|^2_{h \otimes \det h, \omega} dV_\omega \leq \frac{1}{\delta q r} \int_X |f|^2_{h \otimes \det h, \omega} dV_\omega$。
• 系1.4は、すべての$x \in X$に対して$\nu(-\log \det h, x) < 1$ であれば、$q > 0$ のとき$H^q(X, K_X \otimes E \otimes \det E) = 0$ であることを証明する。
• 例5.2は、$\mathbb{P}^n$ 上の商束$Q$が、すべての点で$\nu(-\log \det h, x) < 1$ を満たすグリフィス半正の特異的ヘルミート計量をもたないことを示している。これはコhomologyが消えないことによる。
• 本稿は、特異的ナカノ正性の正式な定義がなくても、$h \otimes \det h$ が$L^2$ 評価においてナカノ正の計量のように振る舞うことを示している。