[論文レビュー] L^2-invariants of locally symmetric spaces

Martin Olbrich|ArXiv.org|Sep 4, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、ハリッシュ＝チャンドラのプランシュレル定理と$({\mathfrak{g}},K)$-コホロロジーを用いて、非コン pact型の対称空間$X = G/K$に関する局所的に対称な空間$Y = \Gamma \backslash X$の$L^2$-不変量—ベッチ数、ノヴィコフ＝シュービン不変量、$L^2$- torsion—を計算する。主な結果は、$L^2$- torsionが非ゼロであるのは、基本的ランク$m = 1$である場合に限ることであり、非コン pact型対称空間上のラプラシアンのスペクトル分解から明示的な公式が導かれる。

ABSTRACT

We explain how the Harish-Chandra Plancherel Theorem and results in relative Lie algebra cohomology can be used in order to compute in a uniform way the $L^2$-Betti numbers, the Novikov-Shubin invariants, and the $L^2$-torsion of compact locally symmetric spaces thus completing results previously obtained by Borel, Lott, Mathai, Hess and Schick. It turns out that the behaviour of these invariants is essentially determined by the fundamental rank of the group of isometries of the corresponding globally symmetric space. In particular, we show the nonvanishing of the $L^2$-torsion whenever the fundamental rank is equal to 1.

研究の動機と目的

• 非コン pact型の$X = G/K$をもつ局所的に対称な空間$Y = \Gamma \backslash X$の$L^2$-ベッチ数、ノヴィコフ＝シュービン不変量、$L^2$- torsionを計算すること。
• ハリッシュ＝チャンドラのプランシュレル定理と$({\mathfrak{g}},K)$-コホロロジーを用いて、先行研究の$L^2$-不変量に関する結果を統合的かつ完全に整理すること。
• これらの不変量が基本的ランク$m = \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}G - \mathrm{rk}_{\mathbb{C}}K$にどのように依存するかを特定すること。
• 特に、$m=1$のとき非ゼロとなる$L^2$- torsionを証明することで、このような空間の$L^2$-不変量の完全な解析的分類を確立すること。

提案手法

• ハリッシュ＝チャンドラのプランシュレル定理を用いて、$X = G/K$上のラプラシアンの$L^2$-スペクトルを、不可約ユニタリ表現に分解する。
• $({\mathfrak{g}},K)$-コホロロジーを適用し、ラプラシアンのスペクトルデータと離散系列表現のコホロロジーを関連付ける。
• 基本領域上の積分を用いて、熱核$\mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$の$\Gamma$-トレースを計算し、スペクトルデータと$L^2$-不変量を結びつける。
• 正規化されたゼータ関数の行列式を用いて$L^2$- torsionを評価する。公式は$-\log \det_{\Gamma}(\Delta_p^*) = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} \left( \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\varepsilon \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*} t^{s-1} dt \right) + \int_\varepsilon^\infty \cdots$である。
• $k_X(t) = \mathrm{Tr}_{\Gamma} e^{-t\Delta_p^*}$の計算を、コンパクト双対$X^d = G^d/K$と無限小特性を用いて、双対対称空間上の積分に還元する。
• 離散系列表現のプランシュレル測度を符号化する多項式$p_l(\nu)$を用いて、熱核トレースを$k_X(t) = \sum_l (-1)^{l+1} \int_{{\mathfrak{a}}^*} e^{-t(\|\nu\|^2 + (u-l)^2\|\alpha_0\|^2)} p_l(i\nu) d\nu$の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に対称な空間$Y = \Gamma \backslash X$の$L^2$-ベッチ数はいつゼロになるか？
• RQ2 ノヴィコフ＝シュービン不変量が基本的ランク$m$にどのように依存するかの正確な関係は何か？
• RQ3 $Y$の$L^2$- torsionが非ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 $L^2$-不変量を表現論とスペクトル論を用いて一様に計算する方法は何か？
• RQ5 コンパクト双対$X^d = G^d/K$は、$L^2$-不変量の計算において果たす役割は何か？

主な発見

• $L^2$-ベッチ数$b_p^{(2)}(Y)$は、$m = 0$かつ$p = n/2$のときのみ非ゼロであり、$b_{n/2}^{(2)}(Y) = (-1)^{n/2} \chi(Y) = \frac{\mathrm{vol}(Y)}{\mathrm{vol}(X^d)} \chi(X^d)$である。
• ノヴィコフ＝シュービン不変量$\alpha_p(Y)$は、$m > 0$かつ$p \in \left[\frac{n-m}{2}, \frac{n+m}{2} - 1\right]$のとき有限（すなわち$\infty^+$でない）であり、この範囲では$\alpha_p(Y) = m$である。
• $L^2$- torsion$\rho^{(2)}(Y)$は、$m = 1$のときのみ非ゼロであり、明示的な公式$T^{(2)}(X) = (-1)^{(n-1)/2} \chi(X^d_M) \frac{\pi Q_X}{\mathrm{vol}(X^d)}$が得られる。ここで$Q_X = \sum_{l=0}^{u-1} (-1)^l \int_0^{u-l} p_l(y \cdot \alpha_0) dy$である。
• $G = SO(p,q)^0$で$p \leq q$が奇数のとき、$Q_{X_{p,q}} = Q_{H^{p+q-1}}$であり、$Q_{H^{p+q-1}}$は正の有理数であるため、$m=1$のとき非ゼロの torsion が確認される。
• $X = SL(3,\mathbb{R})/SO(3)$のとき、$Q_X = \int_0^1 y^2 dy = \frac{1}{3}$、$\chi(X^d_M) = 2$であり、$\rho^{(2)}(Y) \neq 0$であるため、$m=1$の場合の非ゼロ性が裏付けられる。
• 偶数次元の$Y$では、ポincare双対性により$L^2$- torsionがゼロになるが、これは一般公式と整合的である。