[論文レビュー] $L^2$-signatures, homology localization, and amenable groups

Jae Choon, Kent E. Orr|ArXiv.org|Oct 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、CohnおよびBousfieldの群・環局在化に基づく新しい局所的導来系列を用いて、Strebelのクラス $D(R)$ に属するアーベル群に対して、$L^2$-ベッチ数および $L^2$-シグネチャー欠損がホモロジー コボルディズムに関して不変であることを確立する。主な貢献は、von Neumann 代数係数を用いたホモロジーに対する $L^2$-次元ゼロ定理の新規な一般化であり、これは従来の多項式ねじれ自由アーベル群の結果を拡張し、3次元およびそれ以上の次元の位相的応用を可能にする。

ABSTRACT

Aimed at geometric applications, we prove the homology cobordism invariance of the $L^2$-betti numbers and $L^2$-signature defects associated to the class of amenable groups lying in Strebel's class $D(R)$, which includes some interesting infinite/finitenon-torsion-free groups. The proofs include the only prior known condition, that $Γ$ is a poly-torsion-free abelian group (or potentially a finite $p$-group.) We define a new commutator-type series which refines Harvey's torsion-free derived series of groups, using the localizations of groups and rings of Bousfield, Vogel, and Cohn. The series, called the local derived series, has versions for homology with arbitrary coefficients, and satisfies functoriality and an injectivity theorem. We combine these two new tools to give some applications to distinct homology cobordism types within the same simple homotopy type in higher dimensions, to concordance of knots in three manifolds, and to spherical space forms in dimension three.

研究の動機と目的

• 多項式ねじれ自由アーベル群を超える範囲で、ホモロジー コボルディズムに関する $L^2$-シグネチャーや $L^2$-ベッチ数の不変性を拡張すること。
• 群環 $\mathbb{Z}\Gamma$ が歪体に埋め込まれない場合のケースに対処し、先行研究の制限を克服すること。
• CohnおよびBousfieldの局在化を用いて、Harveyのねじれ自由導来系列を精緻化する新しいコンmutator型系列——Vogel-Cohn $R$-局所導来系列——を定義すること。
• $R$-ホモロジー自明性の下で、$\mathcal{N}\Gamma$-係数ホモロジーに対する $L^2$-次元ゼロ定理を証明し、新しい位相的応用を可能にすること。
• これらの道具を用いて、同じ単純ホモトピー型に属するがホモロジー コボルディズム型が異なるものを区別し、結び目および空間形式の同調的性を研究すること。

提案手法

• Cohnの環およびモジュールの局在化を用いて、導来系列の関手的かつ計算可能な精緻化である Vogel-Cohn $R$-局所導来系列を導入する。
• Bousfieldの局在化に基づく導来系列の変種を定義し、複数の局在化タイプにまで枠組みを拡張する。
• Lückの $L^2$-次元ゼロモジュールに関する定理を用い、$H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} R) = 0$ ならば、アーベル群 $\Gamma \in D(R)$ に対して $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} \mathcal{N}\Gamma)$ が $L^2$-次元ゼロをとることを証明する。
• 局所導来系列に対して、Stallings型の単射性定理を確立し、Ore局在化ではなく局在化を用いたCochran-Harveyの結果に類似した性質を示す。
• $L^2$-次元ゼロの結果を用いて、アーベル群 $D(R)$-群における $R$-ホモロジー コボルディズムに関する $L^2$-シグネチャーモジュールの不変性を証明する。
• 新規導来系列を用いて、同じ単純ホモトピー型に属するが非自明なホモロジー コボルディズム型を同定し、特にねじれを含む基本群をもつ多様体において応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式ねじれ自由アーベル群を超えるより広い群のクラスにおいて、$R$-ホモロジー コボルディズムに関して $L^2$-シグネチャーモジュールが不変であることを示せるか？
• RQ2 群 $\Gamma$ がどのような条件下で、$R$-ホモロジーが消える場合に、$\mathcal{N}\Gamma$-係数ホモロジーの $L^2$-次元がゼロになるか？
• RQ3 局在化技術を用いて、ねじれ自由導来系列を精緻化し、より細かい代数的構造を検出できる導来系列をどのように構成できるか？
• RQ4 新規の局所導来系列は、同じ単純ホモトピー型に属するが異なるホモロジー コボルディズム型を同定できるか？
• RQ5 局所導来系列の商においても生存するねじれ要素が存在する場合、どのような位相的帰結が生じるか？

主な発見

• $\pi_1(W)$ が $D(R)$ に属するアーベル群に写像する場合、$R$-ホモロジー コボルディズムな多様体 $M$ と $M'$ に対して、$L^2$-シグネチャーモジュール欠損 $\rho(M, \phi)$ と $\rho(M', \phi')$ は等しい。
• $C_*$ が $\mathbb{Z}\Gamma$ 上の有限生成自由チェイン複体であり、$H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} R) = 0$ ならば、アーベル群 $\Gamma \in D(R)$ に対して $H_*(C_* \otimes_{\mathbb{Z}\Gamma} \mathcal{N}\Gamma)$ は $L^2$-次元ゼロをとる。
• Vogel-Cohn $R$-局所導来系列は関手的であり、Stallings型の単射性定理を満たしており、商における非自明な要素の検出が可能である。
• 基本群 $\pi$ をもつ閉じた $(4k-1)$-次元多様体 $M$ に対して、$\mathbb{Z}_p$ または $\mathbb{Z}_{(p)}$-係数の局所導来系列においてねじれ要素が $\pi / \pi^{(n)}$ で非自明のままであれば、$M$ と単純ホモトピー型かつ接空間的に同値であるが、互いにホモロジー コボルディズムでない無限個の多様体が存在する。
• 新規の局所導来系列は、Harveyのねじれ自由導来系列よりも厳密に細かく、CohnおよびBousfieldの局在化を用いた計算可能な精緻化である。
• これらの結果は、従来の多項式ねじれ自由アーベル群のケースを包含し、無限群および非ねじれ自由な有限群（$p$-群や $\mathbb{Z}_p$-局在化を含む）に対しても $L^2$-シグネチャーアイノーバンスを拡張する。