[論文レビュー] $l$-adic cohomological field theories of dormant opers

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、半単純代数群 $G$ のためのドンスド $G$-オーバーのコンパクトなモジュライスタックから得られる仮想基本クラスを用いて、$l$-進エタールコhomologyにおける半単純なコホモロジカル場理論（CohFT）を構成する。ドンスド忠実なねじれた $G$-オーバー（G-do'per）の概念を導入することで、正標数における $G$-do'per のモジュライスタック上での $ar{\psi}$ 級の交点数に対するウィッテン＝コンツェビッチ定理の類似が確立される。

ABSTRACT

The purpose of the present paper is to develop the enumerative geometry of dormant $G$-opers for a semisimple algebraic group $G$. In the present paper, we construct a compact moduli stack admitting a perfect obstruction theory by introducing the notion of a dormant faithful twisted $G$-oper (or, a $G$-do'per, for short). Moreover, by means of the resulting virtual fundamental class, we obtain a semisimple CohFT (= cohomological field theory) valued in the $l$-adic \'etale cohomology of the moduli stack classifying pointed stable curves in positive characteristic. This CohFT gives an analogue of the Witten-Kontsevich theorem describing the intersection numbers of psi classes on the moduli stack of $G$-do'pers.

研究の動機と目的

• 正標数における半単純代数群 $G$ のドンスド $G$-オーバーの数え上げ幾何学を体系的に発展させること。
• $G$-do'per のコンパクトなモジュライスタックを、完全な障害理論を備えた形で構成すること。
• このモジュライスタック上に仮想基本クラスを定義し、$l$-進エタールコホモロジー値をとる半単純 CohFT を得ること。
• $G$-do'per のモジュライスタック上での $ar{\psi}$ 級の交点数に対するウィッテン＝コンツェビッチ定理の類似を確立すること。

提案手法

• $G$-do'per としてのドンスド忠実なねじれた $G$-オーバーの概念を導入し、良好に振る舞うモジュライ空間を定義する。
• $G$-do'per のコンパクトなモジュライスタックを、完全な障害理論を備えた形で構成し、仮想サイクルの構成を可能にする。
• 完全な障害理論を用いて、$l$-進コホモロジーにおける仮想基本クラスを定義する。
• 点付き安定曲線のモジュライスタックの $l$-進エタールコホモロジー値をとる CohFT を構成する。
• 得られた CohFT が半単純であることを証明し、ウィッテン＝コンツェビッチ理論の構造を拡張する。
• $G$-do'per のモジュライスタック上での $ar{\psi}$ 級の交点数に対するウィッテン＝コンツェビッチ定理の類似を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数におけるドンスド $G$-オーバーの数え上げ幾何学をどのように体系的に発展させることができるか？
• RQ2 どのモジュライ空間構造が $G$-do'per の完全な障害理論を支えるか？
• RQ3 $G$-do'per のための仮想基本クラスを構成し、$l$-進コホモロジーにおける CohFT を得ることができるか？
• RQ4 得られた CohFT は半単純性を満たし、ウィッテン＝コンツェビッチ定理を一般化するか？
• RQ5 $G$-do'per の文脈におけるウィッテン＝コンツェビッチ交点数の公式の正確な類似は何か？

主な発見

• 完全な障害理論を備えた $G$-do'per のコンパクトなモジュライスタックが構成され、仮想サイクル理論が可能になる。
• $l$-進エタールコホモロジーにおける仮想基本クラスが定義され、半単純 CohFT が得られる。
• CohFT は、正標数における点付き安定曲線のモジュライスタックの $l$-進コホモロジー値をとる。
• CohFT は、$ar{\psi}$ 級の交点数に対する正標数におけるウィッテン＝コンツェビッチ定理の類似を提供する。
• この構成は、半単純群 $G$ の $G$-do'per の文脈における古典的ウィッテン＝コンツェビッチ理論を一般化する。
• 得られた CohFT は半単純であり、 genus-zero Gromov-Witten 理論における既知の結果との構造的整合性を確認する。