[논문 리뷰] L-infinity algebra actions

Rajan Amit Mehta, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $L_{u}$-대수의 작용을 그레이드 매니폴드에 도입하여, 이러한 작용이 정확히 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$의 호모로지 벡터장과 대응됨을 보여준다. 이는 $\mathfrak{g}[1]$의 $Q$-구조로 투영된다. 주요 기여는 전형적인 변환 리 대수구조의 대응관계를 $L_{\infty}$-대수로 일반화함으로써, $L_{\infty}$-대수의 새로운 반직접곱 개념을 정의하고, 기존의 구조들인 모듈러스와 호모토피를 통한 표현들을 통합한다.

ABSTRACT

We define the notion of action of an L-infinity algebra $g$ on a graded manifold $M$, and show that such an action corresponds to a homological vector field on $g[1] imes M$ of a specific form. This generalizes the correspondence between Lie algebra actions on manifolds and transformation Lie algebroids. In particular, we consider actions of $g$ on a second L-infinity algebra, leading to a notion of "semidirect product" of L-infinity algebras more general than those we found in the literature.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 리 대수 작용과 변환 리 대수구조 사이의 대응관계를 $L_{\\infty}$-대수의 맥락으로 일반화하는 것.
• 그레이드 매니폴드 $\mathcal{M}$ 위에서의 $L_{\infty}$-작용의 개념을 정의하여, 무한소 작용을 일반화하고, 기존의 구조들인 $L_{\infty}$-모듈러스와 호모토피를 통한 표현을 포함하는 것.
• $L_{\infty}$-작용과 $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$에서 $\mathfrak{g}[1]$로의 $Q$-매니폴드 준위상 사이의 대응관계를 확립하는 것.
• $L_{\infty}$-대수의 확장의 새로운 클래스를 반직접곱을 통해 구성하여, 기존의 구성보다 더 일반적인 것.
• method

제안 방법

• 그레이드 벡터 공간 $\mathfrak{g}$ 가 그레이드 매니폴드 $\mathcal{M}$ 위에서 $L_{\infty}$-작용을 하도록 정의하기 위해, $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 위의 호모로지 벡터장 $Q$ 를 사용하며, 이는 $\mathfrak{g}[1]$의 $Q$-구조로 투영된다.
• $Q$-매니폴드 형식을 사용하여, 차수 1의 호모로지 벡터장을 통해 $L_{\infty}$-대수의 구조를 표현한다.
• $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M} \to \mathfrak{g}[1]$ 의 투영이 $Q$-매니폴드 준위상임을 조건으로 하여 $L_{\infty}$-작용을 특성화한다.
• $\mathcal{M}$ 이 다른 $L_{\infty}$-대수 $\mathfrak{h}$ 와 관련된 $Q$-매니폴드일 경우, $\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{h}$ 위에 반직접곱 $L_{\infty}$-대수의 구조를 구성한다.
• $NQ$-매니폴드의 차수 1의 경우에 이 프레임워크를 적용하여, 이들이 리 대수구조와 대응됨을 보이고, 따라서 고전 이론을 확장함을 보인다.
• 이 프레임워크를 사용하여, 리 대수구조의 동치관계를 벡터장의 시간 1 유동과 리 대수구조의 동형사상에 의해 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 고전적인 변환 리 대수구조의 구성 방식을 $L_{\infty}$-대수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $L_{\infty}$-대수 작용이 그레이드 매니폴드에서 호모로지 벡터장과 어떻게 대응되는가?
• RQ3 $L_{\infty}$-대수의 반직접곱을 구성할 수 있는가? 이는 기존의 구성들, 예를 들어 $L_{\infty}$-모듈러스와 호모토피를 통한 표현을 일반화하는가?
• RQ4 $L_{\infty}$-작용이 $Q$-매니폴드에서 리 대수구조와 코르던트 대수구조의 확장과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모멘트 맵은 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 위에 정규 리 대수구조를 구성할 때 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $L_{\infty}$-대수 $\mathfrak{g}$ 가 그레이드 매니폴드 $\mathcal{M}$ 위에서 작용하는 것은, $\mathfrak{g}[1] \times \mathcal{M}$ 위의 호모로지 벡터장이 존재하고, 이에 대해 $\mathfrak{g}[1]$로의 투영이 $Q$-매니폴드 준위상임과 정확히 동치이다.
• $\mathcal{M}$ 이 다른 $L_{\infty}$-대수 $\mathfrak{h}$ 와 관련된 $Q$-매니폴드일 경우, 그로 인해 유도되는 구조는 $\mathfrak{g}$ 에 대한 $\mathfrak{h}$ 로의 $L_{\infty}$-대수의 확장이 되며, 반직접곱 구성의 일반화이다.
• 이 구성은 기존의 구조들을 복원한다: $L_{\infty}$-모듈러스, 호모토피를 통한 표현, 그리고 고전적 표현을 특수한 경우로 포함한다.
• 차수 1의 $NQ$-매니폴드의 경우, 이 프레임워크는 리 대수구조의 확장을 제공하며, 관련된 리 대수구조 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 는 선형 사상 $\phi: \mathfrak{g} \to \Gamma(A)$ 에 의해 왜곡되었을 때, 곱 리 대수구조와 동형이다.
• $L_{\infty}$-작용의 동치관계는 $\mathfrak{g}$ 로의 투영과 가환하는 관련 리 대수구조의 동형사상과 대응된다.
• 포isson-라이 그룹 작용에서 $J: M \to G^*$ 의 모멘트 맵을 통해 $\mathfrak{g} \times M \oplus A$ 위에 정규 리 대수구조가 유도되며, 이는 루의 구성과 다름을 보이며, 혼합 브라켓이 오직 $A$ 에서만 값이 나옴을 특징으로 한다.