[論文レビュー] $L^p$-$L^q$ boundedness of pseudo-differential operators on smooth manifolds and its applications to nonlinear equations

Duván Cardona, Vishvesh Kumar+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グローバルな記号計算を用いて、滑らかな多様体上のグローバルな擬微分作用素の $L^p$-$L^q$ 有界性の基準を確立し、古典的な Hörmander-Mihlin 条件および Paley 型条件を非ユークリッド的設定へと拡張する。多様体上での Hausdorff-Young-Paley 不等式および Paley 不等式を証明し、それらを用いて、小データの仮定の下で非線形 PDE である非線形波動方程式、熱方程式、定常方程式の局所的適切性を示す。

ABSTRACT

In this paper we study the boundedness of global pseudo-differential operators on smooth manifolds. By using the notion of global symbol we extend a classical condition of Hörmander type to guarantee the $L^p$-$L^q$-boundedness of global operators. First we investigate $L^p$-boundedness of pseudo-differential operators in view of the Hörmander-Mihlin condition. We also prove $L^\infty$-$BMO$ estimates for pseudo-differential operators. Later, we concentrate our investigation to settle $L^p$-$L^q$ boundedness of the Fourier multipliers and pseudo-differential operators for the range $1

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上でのグローバルなフーリエ解析を用いて、Hörmander-Mihlin 条件や Paley 型条件といった古典的な $L^p$-有界性条件を非ユークリッド的設定へと拡張すること。
• 離散スペクトルを持つ多様体上での擬微分作用素のグローバル記号計算を構築し、ユークリッド的でない設定においても有界性結果を得ること。
• 乗数や作用素の $L^p$ と $L^q$ の推定を結ぶための、多様体上での新しい不等式（Hausdorff-Young-Paley 不等式および Paley 不等式）を証明すること。
• 有界性定理を応用して、非線形波動方程式、熱方程式、定常方程式を含む非線形 PDE の局所的適切性を確立すること。

提案手法

• 離散スペクトルを持ち、$L^2(\overline{M})$ でリース基底をなす固有関数を持つ滑らかな多様体 $\overline{M}$ 上のモデル作用素 $L$ を用いてグローバルなフーリエ解析を定義する。
• Hörmander-Mihlin 条件を多様体へ一般化したグローバル記号条件を導入し、擬微分作用素の $L^p$-有界性を保証する。
• 多様体上での Hausdorff-Young-Paley 不等式のバージョンを証明する：$1<p\leq r\leq p'\leq\infty$ に対して $\left(\int |\mathscr{F}f(\xi)\phi(\xi)^{1/r - 1/p'}|^{r} d\xi\right)^{1/r} \leq \|f\|_{L^p}$。
• 多様体上での Paley 型不等式を導出する：$M_\phi = \sup_{t>0} t \cdot |\{\xi: \phi(\xi) \geq t\}| < \infty$ であり、フーリエ変換の成長をスペクトル的観点から制御する。
• 補間と双対性を用いて、$\sup_{t>0} t^b \cdot |\{\xi: m(\xi)\geq t\}| < \infty$ という条件と $\frac{1}{p}-\frac{1}{q} = \frac{1}{b}$ を用いて、$1<p\leq 2\leq q<\infty$ の $L^p$-$L^q$ 有界性を導出する。
• 初期データが小さい場合に、$L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$ 内の固定点法を用いて、非線形 PDE の局所的適切性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な Hörmander-Mihlin 条件（フーリエ乗数の $L^p$-有界性のためのもの）は、滑らかな多様体上の擬微分作用素へと拡張可能か？
• RQ2 スペクトル分解を持つ非ユークリッド的多様体の文脈において、Paley 不等式および Hausdorff-Young-Paley 不等式の適切な類似は何か？
• RQ3 $1<p\leq 2\leq q<\infty$ の場合に、多様体上での擬微分作用素の $L^p$-$L^q$ 有界性はどのように確立できるか？
• RQ4 記号およびデータにどのような条件を課せば、多様体上での非線形波動方程式、熱方程式、定常方程式の局所的適切性が保証されるか？
• RQ5 有界性定理を用いて、非線形発展方程式の解の存在性と一意性が $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$ 内で得られるか？

主な発見

• 本稿は、記号にグローバル Hörmander-Mihlin 条件を課すことにより、非コンパクトかつ非ユークリッド的設定を含む多様体上での擬微分作用素の $L^p$-有界性を確立し、古典的結果を拡張する。
• $1<p\leq 2\leq q<\infty$ の $L^p$-$L^q$ 有界性を導くために、補間を可能にする多様体上での Hausdorff-Young-Paley 不等式のバージョンを証明する。
• Paley 型不等式が多様体へ一般化され、フーリエ変換の分布関数がスペクトル的観点から制御可能であることが示される。
• 非線形波動方程式に対して、初期データ $u_0, u_1$ が十分に小さい場合に、$L^\infty(0,T^*;L^2(\overline{M}))$ 内での局所的適切性が証明され、$T^*$ は $\|u_0\|_{L^2}$ および $\|u_1\|_{L^2}$ に依存する。
• 非線形熱方程式に対しては、初期データが小さい場合に、$L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$ 内に唯一の解が存在することを示す。ここで $T$ は $u_0$ の $L^2$-ノルムおよび $b$ の $L^2$-ノルムに依存する。
• 非線形定常方程式に対しても、適切な関数の球内での固定点法を用いて、小データ仮定のもとで $L^\infty(0,T;L^2(\overline{M}))$ 内の解が得られる。