[論文レビュー] $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic equation and applications

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、フーリエ解析およびフェッファーマン＝シュタインの鋭い関数定理を用いて、特異的で非対称なレヴィ作用素を有する非局所放物型方程式に対して $L^p$-最大正則性を確立する。強解の一意存在性を証明し、バッセル潜在力空間におけるそのような擬微分作用素の定義域を特徴づけ、理論を応用してコーシー過程によって駆動されるSDEに対するクリロフの推定式および臨界ハミルトン＝ヤコビ方程式および多次元バーガー方程式のグローバルな適切性を導出する。

ABSTRACT

By using Fourier's transform and Fefferman-Stein's theorem, we investigate the $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic and elliptic equations with singular and non-symmetric Lévy operators, and obtain the unique strong solvability of the corresponding nonlocal parabolic and elliptic equations, where the probabilistic representation plays an important role. In particular, a characterization for the domain of pseudo-differential operators of Lévy type with singular kernels is given in terms of the Bessel potential spaces. As a byproduct, we show that a large class of non-symmetric Lévy operators generates an analytic semigroup in $L^p$-space. Moreover, as applications, we prove a Krylov's estimate for stochastic differential equation driven by Cauchy processes (i.e. critical diffusion processes), and also obtain the well-posedness to a class of quasi-linear first order parabolic equation with critical diffusion. In particular, critical Hamilton-Jacobi equation and multidimensional critical Burger's equation are uniquely solvable and the smooth solutions are obtained.

研究の動機と目的

• 一般の、特異的で非対称なレヴィ作用素を有する非局所放物型および楕円型方程式に対する $L^p$-正則性理論を構築すること。
• バッセル潜在力空間における特異核を持つレヴィ型の擬微分作用素の定義域を特徴づけること。
• 一般の $L^p$-可積分性条件下で非局所放物型方程式の強解の存在および一意性を証明すること。
• $L^p$-空間における広範な非対称レヴィ作用素の族が解析的半群を生成することを確立すること。
• 正則性理論を応用して、コーシー過程によって駆動されるSDEに対するクリロフの推定式を導出し、臨界準線形放物型系のグローバルな適切性を証明すること。

提案手法

• 非局所方程式の $L^p$-正則性を分析するためにフーリエ変換およびフェッファーマン＝シュタインの鋭い最大関数定理を用いる。
• レヴィ跳躍を有する確率過程と解を結びつけるために、フェインマン＝カックの公式による確率的表現を適用する。
• スケーリングの議論を用いて、安定指数 $\alpha$ に基づいて臨界的、下臨界的、上臨界的領域を分類する。
• 滑らでない係数および特異核を取り扱うために、滑らか化子および切り詰め技術を用いた近似手法を用いる。
• 正則化近似において極限に移行するために、グローワルの不等式およびバッセル潜在力空間におけるコンパクトネスの議論を用いる。
• 勾配をとることによりハミルトン＝ヤコビ方程式を連立放物型方程式系に還元し、得られた連立系に主な正則性結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非対称なレヴィ作用素および特異核を有する非局所放物型方程式に対して、$L^p$-最大正則性を確立できるか？
• RQ2 バッセル潜在力空間において、特異核を持つレヴィ型の擬微分作用素の定義域はどのように正確に特徴づけられるか？
• RQ3 広範な非対称レヴィ作用素の族が $L^p$-空間で解析的半群を生成するか？
• RQ4 コーシー過程（すなわち臨界拡散）によって駆動される確率微分方程式に対して、クリロフの推定式を拡張できるか？
• RQ5 臨界ハミルトン＝ヤコビ方程式および多次元臨界バーガー方程式は、滑らかな解を一意に持つか？

主な発見

• 本稿は、係数の弱い可積分性条件のもとで、特異的で非対称なレヴィ作用素を有する非局所放物型方程式に対して $L^p$-最大正則性を確立する。
• 与えられたレヴィ測度の条件下で、特異核を持つ擬微分作用素 $\mathcal{L}^\nu$ の定義域はバッセル潜在力空間 $H^{1,p}$ として特徴づけられる。
• 非対称レヴィ作用素の広範な族は、$p \in (1, \infty)$ に対して $L^p(\mathbb{R}^d)$ で解析的半群を生成する。
• コーシー過程によって駆動されるSDE（すなわち $\alpha = 1$）に対してクリロフの推定式が証明され、古典的結果が臨界ケースにまで拡張される。
• 正則性理論を用いて、臨界ハミルトン＝ヤコビ方程式および多次元臨界バーガー方程式が一意な滑らかな解を持つことが示される。
• 臨界拡散を有する、臨界バーガー方程式を含む多次元の準線形一階放物型系のクラスに対して、グローバルな適切性が確立される。