[論文レビュー] L_p moments of random vectors via majorizing measures

Olivier Guédon, Mark Rudelson|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Point processes and geometric inequalities被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、主要測度を用いて、凸体上を一様にランダムベクトルの線形関数の $L_p$ モーメントを近似するために必要な標本数の最適な上限を確立する。等方的対数凹型ベクトルに対しては、ほぼ等長的な経験的 $p$ 階モーメントを得るためには $ n^{p/2}\log n\uf0e9$ 個の標本で十分であり、ガウス過程およびメトリックエントロピー技法を用いて、先行研究を著しく改善する。

ABSTRACT

For a random vector X in R^n, we obtain bounds on the size of a sample, for which the empirical p-th moments of linear functionals are close to the exact ones uniformly on an n-dimensional convex body K. We prove an estimate for a general random vector and apply it to several problems arising in geometric functional analysis. In particular, we find a short Lewis type decomposition for any finite dimensional subspace of L_p. We also prove that for an isotropic log-concave random vector, we only need about n^{p/2} \log n sample points so that the empirical p-th moments of the linear functionals are almost isometrically the same as the exact ones. We obtain a concentration estimate for the empirical moments. The main ingredient of the proof is the construction of an appropriate majorizing measure to bound a certain Gaussian process.

研究の動機と目的

• 凸体上を一様にランダムベクトルの線形関数の $L_p$ モーメントを近似するために必要な最小の i.i.d. 標本数を特定すること。
• 主な測度を用いて、特に等方的対数凹型および $\psi_2$ 分布を持つベクトルに対して、$L_p$ ノルムの等長的および同型的モーメント推定を拡張すること。
• タラガンドの主な測度理論を活用することで、幾何的関数解析および高次元確率論における既存の境界を改善すること。
• 部分ガウス過程およびメトリックエントロピーの議論を用いて、経験的 $p$ 階モーメントの集中および期待値の境界を確立すること。
• 導出された標本結果を用いて、$L_p$ の有限次元部分空間に対する短いレウィス型分解を提供すること。

提案手法

• 経験的 $p$ 階モーメントに関連する確率過程の上界を制御するため、インデックス集合 $B_{p^*}^m \times B_2^n$ 上に主要測度を構築する。
• タラガンドの主要測度定理を用いて、経験過程の期待上界をガウス過程との比較によって制御する。
• メトリックエントロピーおよびエントロピー積分技法を用いて、$\ell_2$-ベースの距離 $d((t,y),(t',y')) = (|t-t'|_2^2 + |y-y'|_2^2)^{1/2}$ に関する部分ガウス過程の期待上界を評価する。
• 線形関数 $y \mapsto \langle X, y \rangle$ の $\psi_2$ 条件に依存し、部分ガウス過程との比較を可能にするガウス的尾部を保証する。
• 経験平均の $L_p$ ノルムを $\frac{1}{m^{1/p}} \sup_{t \in B_{p^*}^m} \sum_{j=1}^m t_j \langle X_j, y \rangle$ として表現し、双対性の議論を用いて問題をガウス過程との比較に還元する。
• 主要測度定理を適用して、$\mathbb{E} \sup X_{t,y} \leq C \cdot \mathbb{E} \sup G_{t,y}$ を導出する。ここで $G_{t,y}$ は一致する共分散構造を持つガウス過程である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体上を一様に線形関数の経験的 $L_p$ モーメントが真のモーメントに近い状態を保証するための最小 i.i.d. 標本数は何か？
• RQ2 主な測度技法を用いて、経験的 $p$ 階モーメント過程の期待上界に対する鋭い境界を導出できるか？
• RQ3 等方的対数凹型および $\psi_2$ 分布を持つランダムベクトルに対して、次元 $n$ およびモーメントの次数 $p$ に依存する標本複雑度はどのように変化するか？
• RQ4 結果をほぼ等長的ではなく同型的（等長的ではない）モーメント推定に拡張できるか？また、$p$ に依存する最適な依存関係は何か？
• RQ5 凸体の強凸性のモジュラスと、一様モーメント近似に必要な標本サイズとの関係は何か？

主な発見

• $ℝ^n$ 内の等方的対数凹型ランダムベクトルに対して、$ n^{p/2} \log n \uf0e9$ 個の標本があれば、線形関数の経験的 $p$ 階モーメントが高確率で真のモーメントにほぼ等長的になることが保証される。
• 線形関数に $\psi_2$ 条件を満たす一般の等方的ベクトルに対しては、$m \geq n^{p/2}$ 個の標本があれば、$\mathbb{E} \sup_{y \in B_2^n} \left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m |\langle X_j, y \rangle|^p \right)^{1/p} \leq c \sqrt{p}$ が成り立つ。
• この境界は、ガウスの場合に既知の最良の結果と一致しており、$n$ および $p$ に依存する点で、[25] や [26] の先行推定値を改善している点で鋭い。
• この手法により、任意の $L_p$ の有限次元部分空間に対して短いレウィス型分解が得られ、[9] や [14] の結果を一般化する。
• 経験的 $p$ 階モーメントの集中推定を確立し、$m \geq n^{p/2}$ のとき、高確率ですべての $y \in \mathbb{R}^n$ に対して経験ノルムが真の $L_p$ ノルムの定数倍の範囲内にあることを示した。
• この結果は、クラルタグとメンデルソンの同型的モーメント推定を $p \geq 2$ 全体に一般化し、$n$ および $p$ に依存しない普遍的定数を有する。