[논문 리뷰] $L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions

Peter Lewintan, Patrizio Neff|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 10.

Composite Material Mechanics참고 문헌 60인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 비일관성 있는 텐서 장에 대한 $L^p$-자기장 없는 일반화된 코른 부등식을 수립한다. 이는 텐서 장 $P$의 $L^p$-노름과 그 컬의 노름이 대칭 부분과 컬의 비편미분 부분에 의해 유계로 제어됨을 증명한다. 핵심 결과는 $\|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p}$와 $\|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$를 포함하는 날카운 추정이며, 이는 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$에 속하는 텐서 장에 대해 유효하다. 이는 고전적 코른 부등식을 비일관성 및 자기장 없는 설정으로 확장하며, 탄성 및 플라스티시티 이론에의 응용이 가능하다.

ABSTRACT

For $10$ such that \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] holds for all tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$, i.e., for all $P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$ with vanishing tangential trace $ P imes ν=0 $ on $ \partialΩ$ where $ν$ denotes the outward unit normal vector field to $\partialΩ$ and $\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$ denotes the deviatoric (trace-free) part of $P$. We also show the norm equivalence \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}+\|{\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev}\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] for tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$. These estimates also hold true for tensor fields with vanishing tangential trace only on a relatively open (non-empty) subset $Γ\subseteq \partialΩ$ of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 비일관성 있는 텐서 장에 대한 고전적 코른 유형 부등식을 자기장 없는 조건으로 확장한다.
• 경계에서 접선 성분이 0인 조건을 만족하는 텐서 장에 대해 $L^p$-공간에서 강제 추정을 수립한다.
• 이완성, 즉 비일관성과 관련된 설정(예: 불완전성 밀도 및 기울기 플라스티시티)으로 자기장 없는 코른 부등식을 일반화한다.
• $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p}$와 $\mathrm{sym}\,P$ 및 $\mathrm{Curl}\,P$의 편미분 부분을 포함하는 노름 동치 관계를 제공한다.
• 경계 조건이 더 약한 경우, 즉 경계의 상대적으로 열린 부분집합에서 접선 성분이 0인 경우에도 결과를 검증한다.

제안 방법

• 증명은 리옹의 보조정리와 네드카의 추정을 활용하여 $P$의 $L^p$-노름을 그 대칭 및 컬 성분을 통해 제어한다.
• 저자들은 $P$의 두 번째 도함수를 $\mathrm{sym}\,P$와 $\mathrm{Curl}\,P$의 첫 번째 도함수의 선형 조합으로 표현하며, 편미분 연산자의 핵의 구조를 활용한다.
• 핵심 단계는 $\mathrm{dev\,sym}$과 $\mathrm{dev\,Curl}$의 핵에 속하는 약한 극한 $P^*$가 주어진 경계 조건 하에서 영이 되어야 하므로, 핵이 자명함을 보여주고, 이는 강제성의 성립을 의미한다.
• 분석은 $P \times \nu = 0$ 이 성립하는 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$에서 수행되며, 이는 접선 성분이 경계에서 0임을 보장한다.
• 이 방법은 접선 성분이 경계의 상대적으로 열린 부분집합 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 에서만 0인 경우에도 확장되며, 정교한 경계 이론을 사용한다.
• 결과는 콤��� 임베딩과 약한 수렴의 논리를 통해 유도되며, 대칭 및 컬 성분의 편미분 부분을 신중하게 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원에서 비일관성 있는 텐서 장에 대해 일반화된 $L^p$-자기장 없는 코른 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 $P$와 $\mathrm{Curl}\,P$의 $L^p$-노름이 접선 경계 조건 하에서 $\mathrm{sym}\,P$와 $\mathrm{Curl}\,P$의 편미분 부분을 제어하는가?
• RQ3 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$ 경계 조건 하에서 $\mathrm{dev\,sym}$과 $\mathrm{dev\,Curl}$의 조합된 연산자의 핵이 자명한가? 이는 강제성의 보장이다.
• RQ4 경계의 일부에서만 접선 성분이 0인 텐서 장으로 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ5 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \lesssim \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$의 노름 동치 관계가 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$에서 성립하는가?

주요 결과

• 모든 $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$에 대해 $1 < p < \infty$일 때, 어떤 $c > 0$에 대해 불등식 $\|P\|_{L^p(\Omega)} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p(\Omega)} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p(\Omega)} \right)$ 가 성립하며, 이는 자기장 없는 설정에서의 강제성을 증명한다.
• $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$에 대해 노름 동치 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p} \right)$ 가 확립되며, 이는 $P$와 그 컬에 대한 완전한 제어를 보여준다.
• 결과는 접선 성분이 상대적으로 열린 비어 있지 않은 부분집합 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 에서만 0인 텐서 장으로도 확장되며, 적용 범위가 넓어진다.
• $P = Du$인 경우, 부등식은 접선 성분이 자기장 없는 코른 부등식으로 줄어든다: $\|Du\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,sym}\,Du\|_{L^p}$, 이는 $u \in W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^3)$ 이고 $Du \times \nu = 0$ 이면 $\partial\Omega$ 에서 성립한다.
• $P = \mathrm{Anti}(a)$ 인 반대칭 텐서의 경우, 결과는 $\|a\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,Da}\|_{L^p}$ 형태의 파oincaré 유형 부등식을 제공한다. 이는 $a \in W^{1,p}_0(\Omega, \mathbb{R}^3)$ 일 때 성립한다.
• 부등식은 $\mathrm{Curl}\,P$가 $L^1$에만 속하는 경우에도 유지되며, 이는 덜 규칙적인 장으로의 확장 가능성을 시사하지만, 경계 사례인 $p=1$의 경우는 여전히 열려있다.