[論文レビュー] L2-orthogonal projections onto finite elements on locally refined meshes are H1-stable

Michael Karkulik, Carl‐Martin Pfeiler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最新頂点二等分を用いた局所的メッシュ・リファインメントにおいて、有限要素空間へのL2直交射影のH1安定性を確立する。任意の次元 d ≥ 2 において最低次のコルーラン要素に対して安定性を証明し、p ≥ 1 である高次元要素 Sp(T) に対してはコンピュータ支援証明を用いて境界を拡張する。これには、ディリクレ境界条件や平均ゼロ制約を課す部分空間も含まれる。

ABSTRACT

We merge and extend recent results which prove the H1-stability of the L2-orthogonal projection onto standard finite element spaces, provided that the underlying simplicial triangulation is appropriately graded. For lowest-order Courant finite elements S1(T) in Rd with d>=2, we prove that such a grading is always ensured for adaptive meshes generated by newest vertex bisection. For higher-order finite elements Sp(T) with p>=1, we extend existing bounds on the polynomial degree with a computer-assisted proof. We also consider L2-orthogonal projections onto certain subspaces of Sp(T) which incorporate zero Dirichlet boundary conditions resp. an integral mean zero property.

研究の動機と目的

• 局所的メッシュ・リファインメントを施した単体メッシュ上における有限要素空間へのL2直交射影のH1安定性を確立すること。
• 次元 d ≥ 2 における最低次のコルーラン要素（S1(T)）に対して、最新頂点二等分がH1安定性を保証する十分なメッシュのグレーディングを確保することを示すこと。
• コンピュータ支援証明を用いて、p ≥ 1 である高次元有限要素 Sp(T) へのH1安定性境界を拡張すること。
• ディリクレ境界条件や積分平均ゼロ制約を課すSp(T)の部分空間へのL2直交射影の解析。
• L2直交射影に依存する適応型有限要素法の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 最新頂点二等分を用いて、制御されたグレーディングを持つ局所的リファインメント単体メッシュを生成する。
• 理論的解析を適用し、次元 d ≥ 2 における Rd 上の S1(T) へのL2直交射影のH1安定性がメッシュグレーディングによって保証されることを証明する。
• コンピュータ支援証明を用いて、p ≥ 1 である高次元有限要素 Sp(T) への安定性境界を拡張する。
• ディリクレ境界条件や平均ゼロ制約を射影制約を介してSp(T)の部分空間に組み込む。
• 後処理誤差推定法とメッシュグレーディング解析を組み合わせ、安定性定数の上限を導出する。
• 補間推定と逆不等式を用いて、射影誤差のH1ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 d ≥ 2 において、最新頂点二等分によるリファインメントを施したメッシュ上でも、S1(T) へのL2直交射影はH1安定性を保つのか？
• RQ2 局所的メッシュグレーディングのもとで、p ≥ 1 であるSp(T) へのL2射影のH1安定性は保証可能か？また、p に対する境界はどのようなものか？
• RQ3 ディリクレ境界条件や平均ゼロ制約は、高次元有限要素空間におけるL2直交射影のH1安定性にどのように影響するか？
• RQ4 メッシュグレーディングは、適応型メッシュにおけるL2射影の安定性を確保するために果たす役割は何か？
• RQ5 コンピュータ支援手法を用いて、標準的な理論的限界を超えた高次元有限要素に対するH1安定性境界を検証できるか？

主な発見

• 最新頂点二等分によって生成されたすべての局所的リファインメントメッシュにおいて、S1(T) へのL2直交射影は次元 d ≥ 2 でH1安定性を示す。
• p ≥ 1 である高次元要素 Sp(T) に対しては、コンピュータ支援証明を用いてメッシュグレーディングのもとでH1安定性を確立し、既知の理論的境界を拡張する。
• 考察された有限要素空間に関して、メッシュのリファインメントに伴い安定性定数が一様に有界のままである。
• ゼロディリクレ境界条件や積分平均ゼロ性を課すSp(T)の部分空間に対しても、H1安定なL2直交射影が存在する。
• 適応型有限要素法においてL2射影を用いる場合、最新頂点二等分によるリファインメント戦略のもとで安定性が保証されることを確認した。
• 本分析により、最適収束率を達成する適応型有限要素ソルバーにおいてL2直交射影を用いる理論的根拠が提供された。