[論文レビュー] Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs II

Albert Chau, Jingyi Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^n$ 上の整全体リプシッツグラフ上で、3つの異なる初期ヘッセ行列条件（一様有界ヘッセ行列、弱凸性、または大きな超臨界ラグランジュ位相）の下で、完全非線形ラグランジュ平均曲率流れ方程式の長期間存在および鋭い推定値を確立する。主な貢献は、初期データが$C^{1,1}$にしか満たない場合でも、座標回転、近似、最大原理の新規な組み合わせを、放物型モンジュ・アンプère型方程式に適用することで、解がすべての時間にわたり存在し、一様な曲率および微分の減衰推定値を満たすことを証明することにある。

ABSTRACT

We prove longtime existence and estimates for solutions to a fully nonlinear Lagrangian parabolic equation with locally $C^{1,1}$ initial data $u_0$ satisfying either (1) $-(1+η) I_n\leq D^2u_0 \leq (1+η)I_n$ for some positive dimensional constant $η$, (2) $u_0$ is weakly convex everywhere or (3) $u_0$ satisfies a large supercritical Lagrangian phase condition.

研究の動機と目的

• 初期データ$u_0$が$C^{1,1}$である完全非線形放物型方程式$\partial_t u = \sum_{i=1}^n \arctan \lambda_i$の解の長期間存在および正則性を確立すること。
• 初期ヘッセ行列の境界$-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$において$\eta$が厳密に負である場合に限らない、ラグランジュ平均曲率流れの既存結果を拡張すること。
• 初期データが厳密に凸でないか、ヘッセ行列が有界でない場合でも、解が望ましいヘッセ行列境界および減衰推定値を保持することを証明すること。
• 初期データが$C^{1,1}$である場合に最大原理の技法を適用する課題を扱い、特に位相条件が臨界的または超臨界的である場合に有効に適用できることを示すこと。
• ラグランジュ位相条件$\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$が流れの下で保存されることを示し、古代解の分類結果を得ること。

提案手法

• 初期ヘッセ行列境界を、[13]の定理1.1と整合する形に、$\sigma_0$に依存する小さな座標回転を施すことで変換し、既存の推定値の適用を可能にする。
• 滑らかさの滑らか化（mollification）を用いて、回転後の初期データの滑らかな近似列$v^k_0$を構成し、極限においてヘッセ行列および位相条件を保存する。
• 各$k$に対して、位相集合の凸性とリーマン和による近似を用いて、流れ下で位相条件$\Theta(D^2v^k_0) \geq (n-1)\pi/2 - n\sigma_0$が保存されることを証明する。
• [13]の定理1.1を各$v^k_0$に適用し、$l \geq 2$に対して一様有界な$C^l$ノルムおよび微分の減衰推定値$\sup |D^l u| \leq C_l / t^{l-2}$を導出する。
• $\mathbb{R}^n \times (0,\infty)$のコンパクト集合上で近似解$w^k(p,t)$の滑らかな収束を用いて、極限解$w(p,t)$が同様の推定値を満たすことを得る。
• 文献[2]における強い最大原理および一意性を用いて、位相条件で等号がどこかの点で成立するならば、$u_0$は二次関数でなければならないことを示し、古代解の分類を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期ヘッセ行列が$\eta$フレームワークにおける厳密に負でない一様有界である場合に、$C^{1,1}$ 初期データに対するラグランジュ平均曲率流れの長期間存在および微分の減衰推定値を確立できるか？
• RQ2 初期ヘッセ行列が有界でない可能性がある$C^{1,1}$ 初期データに対し、位相条件$\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$が流れ下でも保存されるか？
• RQ3 初期データが点で等号を満たす超臨界位相条件を満たす場合、流れはどのように振る舞うか？この場合、初期データが二次関数でなければならないか？
• RQ4 位相作用素が凹でない（凸の場合と同様に）場合、$C^{1,1}$ 初期データに対して最大原理を効果的に適用できるか？
• RQ5 曲率および微分推定値を証明する際、初期ヘッセ行列の滑らかさの欠如をどのように扱うか？

主な発見

• 初期データが$-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$を満たし、$\eta(n) > 0$が小さい場合、すべての$t > 0$で$D^2u$が$\sqrt{3}I_n$で一様有界である、一意的な長期間滑らかな解が存在する。
• 3階以上の微分について、すべての$t > 0$で鋭い減衰推定値$\sup |D^l u(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l-2}$が成り立ち、$C_l$は$l$のみに依存する。
• $t=0$における時間に関して、勾配$Du(x,t)$は$1/2$の指数で一様ホルダー連続である。$C^{1,1}$ 初期データに対しても成り立つ。
• 弱凸初期データに対しては、すべての$t > 0$で解は弱凸のままであり、$D^2u > 0$が至る所成り立つ、または解がより少ない変数における凸部分に分解される。
• 初期データが$\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$を満たす場合、この位相条件はすべての$t \geq 0$で保存され、どこかの点で等号が成立するならば$u_0$は二次関数である。
• 第二基本形式およびその共変微分は、すべての$l \geq 0$で$|\nabla^l_t A(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l+1}$を満たし、曲率量の急速な減衰を保証する。