[論文レビュー] Lagrangian Mechanics on Generalized Lie Algebroids

Constantin M. Arcuş|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般化されたリー代数小形体上の(ρ, η)-系を用いた一般化された枠組みを導入することで、ラグランジュ力学におけるワインスタインの問題を解決する。正則ラグランジュ関数および外力に対して、ポincare-Cartan 2形式を用いてオイラー＝ラグランジュ型方程式を導出する、標準的な(ρ, η)-半射影を構成する。主な貢献は、リー代数小形体の一般化された接バンドルを用いたワインスタインの問題に対する新たな解決策であり、標準的なリー代数小形体を超えたフィンスラー幾何学への拡張を実現する。

ABSTRACT

A solution for the Weinstein's Problem in the general framework of generalized Lie algebroids is the target of this paper. We present the mechanical systems called by use, mechanical (?; ?)-systems, Lagrange mechanical (?; ?)-systems or Finsler mechanical (?; ?)-systems and we develop their geometries. We obtain the canonical (?; ?)-semi(spray) associated to a mechanical (?; ?)-system. The Lagrange mechanical (?; ?)-systems are the spaces necessary to develop a Lagrangian formalism. We obtain the (?; ?)-semispray associated to a regular Lagrangian L and external force Fe and we derive the equations of Euler-Lagrange type. A new point of view over classical and modern results about Lagrangian Mechanics are presented.

研究の動機と目的

• リー代数小形体上でクラインの形式に対応するラグランジュ形式を直接構築すること、すなわちワインスタインの問題を解くこと。
• 一般化されたリー代数小形体の枠組みにおいて、(ρ, η)-系を用いてラグランジュ力学を一般化すること。
• 正則ラグランジュ関数および外力に関連する(ρ, η)-半射影および(ρ, η)-接続の定義と特徴付けを行うこと。
• 標準的なリー代数小形体から任意の一般化されたリー代数小形体へのフィンスラー幾何学の自然な拡張を実現すること。

提案手法

• 一般化されたリー代数小形体上に、力学的(ρ, η)-系およびラグランジュ力学的(ρ, η)-系を、基礎的な幾何的構造として導入する。
• 方程式 iS(ωL) = −d(ρ,η)TE(EL) の解を用いて、(ρ, η)-半射影を定義する。ここで ωL はポincare-Cartan 2形式、EL はエネルギー関数である。
• 局所的に可逆な Bv-同型写像 (g, h) を用いて、曲線の(g, h)-上昇を定義し、それらをオイラー＝ラグランジュ方程式の解と関連付ける。
• ラグランジュ関数および Bv-同型写像 (g, h) から、(ρ, η)-接続の成分 (ρ, η)Γa_c を導出し、ベクトル bundle 上のアフィン接続の概念を一般化する。
• この形式をリー代数小形体の一般化された接バンドルに適用し、マーティンエスのアプローチとは異なる、ワインスタインの問題に対する新たな解決策を得る。
• 標準的な(ρ, η)-半射影の積分曲線が、オイラー＝ラグランジュ型方程式 (9.10) を満たす(g, h)-上昇であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリー代数小形体上で、ワインスタインの問題を解く直接的なラグランジュ形式を構築できるか？
• RQ2 一般化されたリー代数小形体上における力学的(ρ, η)-系の幾何的構造は何か？
• RQ3 正則ラグランジュ関数および外力に関連する標準的な(ρ, η)-半射影はどのように定義され、その性質は何か？
• RQ4 この形式において、曲線の(g, h)-上昇はオイラー＝ラグランジュ方程式の解とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、任意の一般化されたリー代数小形体へのフィンスラー幾何学の自然な拡張は可能か？

主な発見

• 方程式 iS(ωL) = −d(ρ,η)TE(EL) の解によって一意に定まる標準的な(ρ, η)-半射影 SL(g, h) は、エネルギー関数およびラグランジュ関数の微分を含む明示的な成分表現を持つ。
• ラグランジュ力学的(ρ, η)-系に関連する(ρ, η)-接続 (ρ, η)Γa_c は、ラグランジュ関数および Bv-同型写像 (g, h) から導出され、ベクトルバンドル上のアフィン接続の概念を一般化する。
• 標準的な(ρ, η)-半射影の積分曲線は、まさにオイラー＝ラグランジュ型方程式 (9.10) を満たす(g, h)-上昇である。
• Fe = 0 かつ (ρ, η) = (IdTM, IdM) の場合、この形式はバツカトゥルとミロン (2005) の結果を回復し、既知の結果と整合性を保つ。
• フィンスラー基本関数 F に対して、M 上の測地線は、(g, h)-上昇が方程式 (9.10) を満たす曲線として特徴付けられる。これは古典的フィンスラー幾何学を拡張するものである。
• 理論は、マーティンエスの延長に基づくアプローチとは異なる、リー代数小形体の一般化された接バンドルを用いたワインスタインの問題に対する新たな解決策を提供する。