[論文レビュー] Lagrangian tens of planes, Enriques surfaces and holomorphic symplectic fourfolds

Igor Dolgachev, Dimitri Markushevich|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 53被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、立方四次超曲面と二重EPW六次超曲面を介して、エンリケス面、ℙ⁵におけるラグランジュ的10重平面、および複素シンプレクティック4次元多様体の間の幾何的ブリッジを確立する。モジュライ空間の超マーク付きエンリケス面が連結であることを証明し、同一の初期データから2つの異なる複素シンプレクティック4次元多様体を構成する：1つは立方四次超曲面の直線のファノ多様体として、もう1つは特異な二重EPW六次超曲面の最小解消として。これらの構成の非双正則性を示している。

ABSTRACT

The Fano models of Enriques surfaces produce a family of tens of mutually intersecting planes in $\mathbf P^5$ with a $10$-dimensional moduli space. The latter is linked to several 10-dimensional moduli spaces parametrizing other types of objects: a) cubic fourfolds containing the tens of planes, b) Beauville--Donagi holomorphically symplectic fourfolds, and c) double EPW sextics. The varieties in b) parametrize lines on cubic fourfolds from a). The double EPW sextics are associated, via O'Grady's construction, to Lagrangian subspaces of the Plücker space of the Grassmannian $Gr(2,\mathbf P^5)$ spanned by 10 mutually intersecting planes in $\mathbf P^5$. These links imply the irreducibility of the moduli space of supermarked Enriques surfaces, where a supermarking is a choice of a minimal generating system of the Picard group of the surface. Also some results are obtained on the variety of tens of mutually intersecting planes, not necessarily associated to Fano models of Enriques surfaces.

研究の動機と目的

• エンリケス面のファノモデルと複素シンプレクティック4次元多様体との間の幾何的対応を、立方四次超曲面と二重EPW六次超曲面を介して確立すること。
• 超マーク付きエンリケス面のモジュライ空間が連結であることの証明。ここで「超マーク」は、ピカール群の最小生成系の選択を意味する。
• ℙ⁵における10個の互いに交わる平面の構成と、それらが ⋀³ℂ⁶ におけるラグランジュ部分空間を生成する役割を分析すること。
• 同一の10平面配置から得られる2つの複素シンプレクティック4次元多様体の比較：1つは立方四次超曲面の直線のファノ多様体として、もう1つは二重EPW六次超曲面の最小解消として。
• 有限体上での10平面の配置の明示的代数的構成と数値的証拠を提供し、それらラグランジュ系の存在と性質を裏付けること。

提案手法

• ℙ⁵における10平面の各々を、グリスマンニアン Gr(2, ℙ⁵) のプルーッカー埋め込みを用いて ⋀³ℂ⁶ 内のプルーッカー・ベクトルとして表現する。
• 10平面の対ごとの交わりが、自然なシンプレクティック形式に関して、10個のプルーッカー・ベクトルがラグランジュ部分空間 A ⊂ ⋀³ℂ⁶ を張ることを示す。
• 11個の独立な3次形式からなるイデアルを用いて、10平面に消失する唯一の（スカラー倍を除いて）超曲面として、立方四次超曲面 𝒞 を構成する。
• ラグランジュ部分空間 A に対してオグレディの構成を適用し、ℙ¹⁹ に特異なEPW六次超曲面 X_A ⊂ ℙ¹⁹ を定義する。これは、次数53の曲面に沿って特異である。
• X_A の二重被覆の特異点を解消して、複素シンプレクティック4次元多様体 X̃ を得、その幾何的構造（K3曲面に沿った ℙ¹-バンドルに同型な除数を含む）を分析する。
• コンピュータ代数システムを用いて、有限体（例：𝔽₂₉）上での主要な性質を検証する。具体的には、プルーッカー・ベクトルの線形独立性と、3次系の基底の台の構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた幾何的制約のもとで、超マーク付きエンリケス面のモジュライ空間は連結のままであるか？
• RQ2 ファノモデルとしてのエンリケス面から得られる、ℙ⁵における10重の互いに交わる平面から、一意な立方四次超曲面を構成できるか？
• RQ3 同一の10平面配置から得られる2つの複素シンプレクティック4次元多様体（立方四次超曲面の直線のファノ多様体と、二重EPW六次超曲面の最小解消）は、一般には非双正則的か？
• RQ4 ラグランジュ的10平面配置に対応するEPW六次超曲面の特異点集合の構造は何か？また、元の10平面に加えて、二次曲面や他の幾何的対象から生じる成分はどれか？
• RQ5 3次線形系の基底の台のヒルベルト多項式とイデアル構造は、10平面配置の幾何にどのように反映されるか？

主な発見

• 超マーク付きエンリケス面のモジュライ空間は、ラグランジュ的10重平面の10次元モジュライ空間と結びつけることで、連結であることが示された。
• ℙ⁵における10平面は、自然なシンプレクティック形式に関して、10次元のラグランジュ部分空間 A ⊂ ⋀³ℂ⁶ を張り、この配置の幾何的極大性が確認された。
• 10平面を含む唯一の立方四次超曲面 𝒞 が存在し、これは x₃x₄x₅ の積として与えられる。45個の交点のイデアルは、次数≥3の形式によって生成される。
• 10次元の3次系の一般な9次元部分系の基底の台は、10個の立方曲線 B_j の和集合であり、それぞれの平面 Λ_km 上にある。
• EPW六次超曲面 X_A の特異点集合 R は、ヒルベルト多項式 53P₂ − 198P₁ + 322P₀ を持ち、次数53の曲面を表す。この特異点集合の既約成分には、元の10平面、3つの二次曲面、および次数16の既約曲面 S が含まれる。
• 二重EPW六次超曲面の構成により、特異なシンプレクティック多様体が得られ、その最小解消 X̃ は複素シンプレクティック4次元多様体である。X̃ は、立方四次超曲面の直線のファノ多様体とは双正則でないが、同じ初期の10平面データから得られる。