[論文レビュー] Lambert series and q-functions near q=1

Shubho Banerjee, Blake Wilkerson|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、q→1に近づく際のラメルト級数および関連するq関数（qガンマ、qポリガンマ、qポッホハマー記号、ヤコビのシータ関数を含む）の完全な漸近展開を導出する。微分作用素 $\frac{D}{e^D - 1}$ とベルヌーイ多項式、Hurwitzのゼータ関数との関係を用いて、$\vartheta_4(0,e^{-1/\pi}) \simeq 2\pi e^{-\pi^3/4}$ といった非常に高精度な閉形式近似が得られ、相対誤差は約 $10^{-27}$ に達する。

ABSTRACT

We study the Lambert series $\mathscr{L}_q(s,x) = \sum_{k=1}^\infty k^s q^{k x}/(1-q^k)$, for all $s \in \mathbb{C}$. We obtain the complete asymptotic expansion of $\mathscr{L}_q(s,x)$ near $q=1$. Our analysis of the Lambert series yields the asymptotic forms for several related q-functions: the q-gamma and q-polygamma functions, the q-Pochhammer symbol, and, in closed form, the Jacobi theta functions. Some typical results include $Γ_2(\frac{1}{4}) Γ_2(\frac{3}{4}) \simeq \frac{2^{13/32} π}{\log 2}$ and $\vartheta_4 (0,e^{-1/π}) \simeq 2 πe^{-π^3\!/4}$, with relative errors of order $10^{-25}$ and $10^{-27}$ respectively.

研究の動機と目的

• q \to 1^{-} の際のラメルト級数 $\mathscr{L}_q(s,x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^s q^{kx}}{1-q^k}$ の完全な漸近展開を導出すること。
• これらの漸近的結果を、qガンマ関数、qポリガンマ関数、qポッホハマー記号、ヤコビのシータ関数といった関連q関数へと拡張すること。
• 特殊値 $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$ や $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$ に対する高精度近似を提供すること。相対誤差は $10^{-25}$ 以下となるようにすること。
• 既知の漸近的結果（例：ラメルト級数に対するKnoppの結果、Euler関数に対するWatsonの結果）を、導出された展開の特別な場合として統一的に一般化すること。

提案手法

• 微分作用素 $\frac{D}{e^D - 1}$ を用いてラメルト級数を解析する。ここで $D = \frac{d}{dx}$ であり、ベルヌーイ多項式およびHurwitzのゼータ関数と関連する。
• 作用素が $x^{-s}$ に作用する様子を用いて漸近展開を導出し、$\mathscr{L}_q(s,x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{(1-q)^{1+s}} \right)$ を得る。これは $q \to 1^{-}$ のとき成り立つ。
• qポッホハマー記号は $\log(q^x;q)_\infty = -\mathscr{L}_q(-1,x)$ を通じて $\mathscr{L}_q(-1,x)$ と関係づけられ、Euler関数の漸近的解析が可能になる。
• qガンマ関数およびqポリガンマ関数は $\mathscr{L}_q(s,x)$ を用いて表現され、これにより主な展開からそれらの漸近形が導かれる。
• ヤコビのシータ関数はヤコビの三重積恒等式を通じてqポッホハマー記号と関係づけられ、Euler関数の漸近形からそれらの漸近的性質が導かれる。
• 最終的なシータ関数の漸近形は、Euler関数の漸近展開に $y = i2z / \log q$ を代入し、双曲線恒等式を用いて簡略化することで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q \to 1^{-} の際、すべての $s \in \mathbb{C}$ に対してラメルト級数 $\mathscr{L}_q(s,x)$ の完全な漸近展開は何か？
• RQ2 q=1に近い際、qガンマ関数およびqポリガンマ関数の漸近的挙動は、ラメルト級数からどのように導出できるか？
• RQ3 q \to 1^{-} の際、ヤコビのシータ関数 $\vartheta_3(z,q)$ および $\vartheta_4(z,q)$ の高精度な漸近的近似は何か？
• RQ4 既知のEuler関数およびラメルト級数に対する漸近的結果は、導出された展開の特別な場合として回復可能か？
• RQ5 特殊値 $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$ や $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$ の正確な漸近形は何か？

主な発見

• q=1に近い際、ラメルト級数 $\mathscr{L}_q(s,x)$ は完全な漸近展開を有し、元の級数よりも収束が著しく速い。
• qガンマ関数は $\Gamma_q(x) \sim (1-q)^{1-x} \frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}$ を満たし、その対数微分（qディガンマ関数）は $\mathscr{L}_q(0,x)$ を用いて表現される。
• qポッホハマー記号 $\log(q^x;q)_\infty$ は漸近的に $-\mathscr{L}_q(-1,x)$ に等しく、q=1に近い際の高精度な評価が可能になる。
• ヤコビのシータ関数 $\vartheta_4(0,e^{-1/\pi})$ は $\simeq 2\pi e^{-\pi^3/4}$ と近似され、相対誤差は $10^{-27}$ に達する。
• 積 $\Gamma_2(1/4)\Gamma_2(3/4)$ は $\simeq \frac{2^{13/32}\pi}{\log 2}$ と近似され、相対誤差は $10^{-25}$ に達する。
• シータ関数の対数微分は双曲線関数を用いて漸近的に近似可能であり、例えば $\frac{\vartheta_2'(z,q)}{\vartheta_2(z,q)} \simeq \frac{1}{\log q} \left[ 2(z_\pi - \pi/2) + \pi \coth\left( \frac{\pi(z_\pi - \pi/2)}{\log q} \right) \right]$ となる。