[論文レビュー] Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional operator

Arjumand Seemab, Jehad Alzabut+3 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ψ-Caputo微分作用素を含む非局所境界条件を有する一般化されたランジュバン方程式を検討する。固定点定理（KrasnoselskiiおよびBanach）を用いて、解の存在および一意性を確立し、ψ-分数階グロワールの不等式および部分積分を用いて、Ulam–HyersおよびUlam–Hyers–Rassias安定性を証明する。本研究の結果は、分数階作用素に一般関数ψを組み込むことによって、既存の文献を一般化する。

ABSTRACT

This paper studies Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional derivatives operator. By the aide of fixed point techniques of Krasnoselskii and Banach, we derive new results on existence and uniqueness of the problem at hand. Further, the $\psi $-fractional Gronwall inequality and $\psi $--fractional integration by parts are employed to prove Ulam--Hyers and Ulam--Hyers--Rassias stability for the solutions. Examples are gifted to demonstrate the advantage of our major results. The proposed results here are more general than the existing results in the literature and obtain them as particular cases.

研究の動機と目的

• 一般化されたψ-Caputo分数階微分作用素を導入することで、分数階ランジュバン方程式の理論を拡張すること。
• 非線形ランジュバン方程式に対して、非局所境界条件を満たす解の存在および一意性を確立すること。
• ψ-分数階積分および微分不等式を用いて、Ulam–HyersおよびUlam–Hyers–Rassias安定性を検討すること。
• 既存の結果を統一的に一般化し、さまざまな分数階微分モデル（例：Caputo、Hadamard、Erdélyi–Kober）を特別な場合として含むこと。

提案手法

• 古典的分数階微積分を一般化するために、ψ-Caputo微分作用素およびψ-分数階積分作用素を用いる。
• 解の一意性の証明にBanachの固定点定理、解の存在の証明にKrasnoselskiiの固定点定理を適用する。
• 安定性特性を分析するために、新規のψ-分数階グロワールの不等式を用いる。
• ψ-分数階部分積分を用いて安定性推定値を導出し、解のずれを評価する。
• 問題の線形および非線形変種の明示的解形を導出する。
• 適用可能性および一貫性を示す具体的な例を通じて、理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所境界条件を有するψ-Caputo分数階ランジュバン方程式が、どのような条件下で一意解を有するか。
• RQ2 このような分数階系に対して、Ulam–HyersおよびUlam–Hyers–Rassias安定性をどのように確立できるか。
• RQ3 提案された結果が、CaputoやRiemann–Liouville微分を含む既存の結果をどのような意味で一般化するか。
• RQ4 関数ψは、一つのフレームワーク内で異なる分数階微分モデルを統一するために果たす役割は何か。
• RQ5 非局所境界条件は、解の構造および安定性にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 非線形項のリプシッツ連続性および連続性の弱い条件のもとで、Banachの固定点定理を用いて、問題が一意解を有することを証明した。
• 適切な成長およびコンパクト性の仮定の下で、Krasnoselskiiの固定点定理を用いて、少なくとも一つの解の存在を確立した。
• 解はUlam–Hyers安定である。これは、方程式における小さな摂動が、解のずれを一様に有界にするという意味である。
• 解は一般化されたUlam–Hyers–Rassias安定でもある。この場合、有界性は制御関数に依存し、近似に対するロバストネスを確認する。
• ψ-分数階グロワールの不等式は、安定性推定値を導出し、解の差を有界化するために中心的な役割を果たした。
• 理論的結果は、導出された条件の一貫性および適用可能性を示す具体的な例を通じて検証された。