[論文レビュー] Laplace approximation with estimated error and application to probability

Vassili N. Kolokoltsov, Tomasz M. Łapiński|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、指数関数の最大値が定義域の内部または境界上に位置する場合の積分に対して、収束速度の見積もりを伴う多次元ラプラース近似を構築する。この手法を用いて、正規化ラプラース積分によって定義される確率ベクトルに関して、大数の法則および中心極限定理の2つの極限定理を導出する。極限分布は、内部に最大値がある場合にはガウス分布、境界上に最大値がある場合には指数-ガウス混合分布をとる。

ABSTRACT

In this paper Multidimensional Laplace approximation with the estimated rate of convergence is developed. We consider two cases of maximum, in the interior of the domain and on the boundary. Additionally, the function in the exponent and its maximum point is dependent on the integral ’large’ parameter. The probabilistic application is included and it is in the form of two limit theorems for the random vector whose values are defined as the coordinates of points within the domain of Laplace integral. The pdf is constructed by considering Laplace integral with domain of integration being the event set and normalizing with integral over whole domain. The first probabilistic result is Law of Large Numbers and the second is Central Limit Theorem. The second result is different for two cases of maximum of function in Laplace integral. When it is in the interior of the domain we obtain Gaussian distribution. For the boundary maximum we obtain exponential in one direction and Gaussian in other directions. The proofs are based on the developed in the paper Laplace approximation and additional, rather standard estimated were necessary.

研究の動機と目的

• 大きなパラメータを含む積分に対して、収束速度を明示的に評価した多次元ラプラース近似を構築すること。
• 指数関数の最大値が定義域の内部にある場合と境界上にある場合のラプラース積分の挙動を分析すること。
• 定義域の事象上での正規化ラプラース積分から導かれる確率ベクトルの確率的極限定理を確立すること。
• 確率的応用において不可欠な、ラプラース近似の誤差に対する厳密な見積もりを提供すること。
• 内部最大値と境界最大値の状況を区別して、正規化された確率ベクトルの極限分布を同定すること。

提案手法

• 指数関数に大きなパラメータを含む積分に対して、明示的な誤差境界を伴う多次元ラプラース近似を導出する。
• 2つの状況を検討する：指数関数の最大値が積分領域の内部点にある場合と境界点にある場合。
• ラプラース法を用いて、指数関数の最大点の周囲で展開することで積分を近似する。
• 近似結果を用いて、領域の部分集合上での積分を正規化することで確率密度関数を構成する。
• 標準的な漸近的手法と誤差境界の見積もりを組み合わせ、正規化された確率ベクトルの収束を証明する。
• 内部最大値と境界最大値を区別して極限分布を分析し、それぞれ異なる漸近的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数関数の最大値が定義域の内部にある場合、多次元ラプラース近似の収束速度をどのように見積もり得るか。
• RQ2 指数関数の最大値が積分領域の境界上にある場合、ラプラース近似の挙動はいかなるものか。
• RQ3 正規化された確率ベクトルの極限分布は、内部最大値と境界最大値の状況でどのように異なるか。
• RQ4 このような正規化された確率ベクトルの極限において、明確な漸近的分布（例：ガウス分布や指数-ガウス混合分布）はどのように得られるか。
• RQ5 確率的設定において、ラプラース近似の収束を厳密に確立するために必要な誤差見積もりは何か。

主な発見

• 明示的な誤差見積もりを伴うラプラース近似が構築され、大きなパラメータを含む多次元積分の厳密な収束解析が可能になった。
• 指数関数の最大値が定義域の内部にある場合、正規化された確率ベクトルの極限分布は多変量ガウス分布となる。
• 最大値が境界上にある場合、極限分布は境界に垂直な方向で指数分布となり、接線方向ではガウス分布をとる。
• 正規化された確率ベクトルに対して大数の法則が確立され、指数関数の最大点への収束が示された。
• 中心極限定理が証明され、最大値の位置（内部または境界）に応じて異なる極限分布をとる—内部最大値ではガウス分布、境界最大値では指数-ガウス混合分布となる。
• 証明は、誤差見積もりを伴う開発されたラプラース近似と、標準的な漸近的手法を組み合わせることで行われ、収束が保証された。