[논문 리뷰] Large Deviation Principle for $S$-unimodal maps with flat critical point

Yong Moo Chung, Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 로그 또는 다항식 임계 차수를 가진 비재귀적 평평한 임계점을 가진 위상적으로 정확하고 음의 슈바르츠ian을 가진 $S$-단조감마 맵에 대해 대칭적 이탈 원리(Large Deviation Principle, LDP)를 수립한다. 이는 불변 측도에 대해 비율 함수가 $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 로 주어지고, 비율 함수의 영점 집합을 완전히 특성화하며, 비율 함수의 최소화자 집합이 임계 매개변수 $\alpha = 1$ 에서 질적 전이를 겪는다는 것을 보여준다. 이 전이에서는 최소화자 집합이 $\delta_0$ 와 acip의 볼록 조합에서 $\delta_0$ 로만 전환된다.

ABSTRACT

We study a topologically exact, negative Schwarzian unimodal map whose critical point is non-recurrent and flat. Assuming the critical order is either logarithmic or polynomial, we establish the Large Deviation Principle and give a partial description of the zeros of the corresponding rate functions. We apply our main results to a certain parametrized family of unimodal maps in the same topological conjugacy class, and give a complete description of the zeros of the rate functions. We observe a qualitative change at a transition parameter, and show that the sets of zeros depend continuously on the parameter even at the transition.

연구 동기 및 목표

• 비재귀적 평평한 임계점을 가진 $S$-단조감마 맵에 대해 대칭적 이탈 원리(LDP)를 수립하기.
• LDP와 관련된 비율 함수의 영점 집합을 기술하기.
• 특히 전이점에서의 매개변수 변화에 따른 비율 함수의 영점 집합의 연속성 분석하기.
• 예를 들어 맨빌-포모에 맵과 같은 매개변수화된 단조감마 맵의 가족에 결과를 적용하여 비율 함수의 영점 집합을 완전히 특성화하기.

제안 방법

• 저자들은 일반 궤도의 통계적 행동을 분석하기 위해 적절한 간격 $I$ 에 대한 첫 번째 재진입 맵을 기반으로 한 유도 체계를 사용한다.
• 재진입 시간 분포에 대해 특정 유사 사양 성질을 확립하여, 어떤 $C>0$ 에 대해 $|\{R=n+1\}| / |\{R>n\}| \geq C n^{-2(1+\alpha)/\alpha}$ 를 증명한다. 이는 재진입 시간의 감쇠를 제어한다.
• LDP의 상한 증명은 이 감쇠 추정에 의존하며, 이는 이전의 비평탄성 가정을 대체한다.
• 비율 함수는 누적 생성 함수의 레지우에 변환을 통해 유도되며, $f$-불변 측도 $\mu$ 에 대해 $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 를, 그 외의 경우는 $\infty$ 를 얻는다.
• acips의 약한 수렴은 $\log|Df_\alpha|$ 의 균일 수렴과 측도의 약한 수렴을 이용하여 분석하며, $\alpha \nearrow 1$ 일 때 $\mu_{\rm ac,\alpha} \to \delta_0$ 를 증명한다.
• 비율 함수의 영점 집합의 구조는 리드라피에의 중립 고정점에 대한 리아풀로프 지수와 엔트로피 결과를 이용하여 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비재귀적 평평한 임계점을 가진 $S$-단조감마 맵에 대해 대칭적 이탈 원리(LDP)가 성립하는가?
• RQ2 이러한 맵에 대해 비율 함수의 정확한 형태는 무엇이며, 어디서 영이 되는가?
• RQ3 시스템 매개변수 $\alpha$ 가 변화함에 따라 비율 함수의 최소화자 집합(즉, 영점 집합)은 어떻게 변화하는가? 특히 전이점에서 어떻게 되는가?
• RQ4 비율 함수의 영점 집합은 전이점에서도 매개변수 $\alpha$ 에 대해 연속적인가?
• RQ5 acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ 의 점근적 행동은 $\alpha \nearrow 1$ 일 때 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 로그 또는 다항식 임계 차수를 가진 비재귀적 평평한 임계점을 가진 $S$-단조감마 맵에 대해 대칭적 이탈 원리(LDP)가 성립한다.
• 비율 함수는 $f_\alpha$-불변 측도 $\mu$ 에 대해 $\mathscr{I}(f_\alpha; \mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 로 주어지고, 그 외의 경우는 $\infty$ 이다.
• $0 < \alpha < 1$ 일 때, 비율 함수는 정확히 $p\delta_0 + (1-p)\mu_{\rm ac,\alpha}$ 형식의 측도에서 영이 된다. 여기서 $p \in [0,1]$ 이다.
• $\alpha \geq 1$ 일 때, 비율 함수는 오직 $\delta_0$ 에서만 영이 되며, 이는 일반적인 한계 분포의 구조에서 질적 변화를 나타낸다.
• 비율 함수의 영점 집합은 전이점 $\alpha = 1$ 에서도 매개변수 $\alpha$ 에 대해 연속적으로 의존한다. 이는 구조의 변화에도 불구하고 성립한다.
• acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ 는 $\alpha \nearrow 1$ 일 때 약한 수렴으로 $\delta_0$ 로 수렴하며, 이는 특이한 한계 측도의 출현을 확인한다.