[論文レビュー] Large Deviations in Quantum Spin Chain

Yoshiko Ogata|ArXiv.org|Mar 2, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1次元量子スピン鎖における一般化された局所的観測量について、フルの大偏差原理（LDP）を確立する。Ruelleの転送作用素法を用いて、KMS状態および$C^*$-有限相関状態の両方に適用可能である。主な貢献は、局所ハミルトニアンの経験的分布に対する良いレート関数の存在を証明し、長年にわたり量子統計力学における空白であった、これらの量子系におけるLDPの上界および下界の両方の確認を達成したことである。

ABSTRACT

We show the full large deviation principle for KMS-states and $C^*$-finitely correlated states on a quantum spin chain. We cover general local observables. Our main tool is Ruelle's transfer operator method.

研究の動機と目的

• 1次元量子スピン鎖における一般化された局所的観測量について、フルの大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 一般の観測量について、量子スピン系における大偏差下界が成り立つかどうかという未解決問題を解消すること。
• 従来の結果が高温領域や特定の観測量に限定されていたのに対し、中間温度のKMS状態および$C^*$-有限相関状態へLDPを拡張すること。
• LDPフレームワークを通じて、1次元量子系における統計集団の等価性を厳密に確立すること。

提案手法

• 量子スピン鎖におけるLDPを導出する中心的分析的道具として、Ruelleの転送作用素法を用いる。
• 有限範囲かつ並進不変相互作用に対して定義されたKMS条件に基づくKMS状態にこの手法を適用する。
• ユニタルな完全正値写像と忠実な状態を用いて構成される三つ組$({\cal B}, {\cal E}, \rho)$に基づく$C^*$-有限相関状態へ分析を拡張する。
• 時間発展演算子下での局所的要素の正則性の性質を活用し、Arakiによる動的演算子の整関数的ベクトルに関する結果を応用する。
• 有限体積ハミルトニアン$H_\Phi([1,n])$のスペクトル射影を用いて、経験的測度$\mu_{n,\Phi}$を定義する。
• コンパクト性および解析接続技術を用いて、摂動付きの発展演算子および転送作用素に対する一様な境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子スピン鎖における一般化された局所的観測量について、フルの大偏差原理が成り立つかどうか。
• RQ2 高温領域を超えてKMS状態についても大偏差下界を確立できるか。
• RQ3 $C^*$-有限相関状態が任意の局所的観測量についてフルLDPを満たすか。
• RQ4 これらの量子系において、大偏差の指数的減衰を特徴づける良いレート関数が存在するか。
• RQ5 1次元量子スピン系において、マイクロカノニカル集団とカノニカル集団の等価性をLDPフレームワークから導出できるか。

主な発見

• 正規化されたハミルトニアン$\frac{1}{n}H_\Phi([1,n])$に対する経験的測度$\mu_{n,\Phi}$の列は、任意のKMS状態および$C^*$-有限相関状態において、良いレート関数を伴うフルの大偏差原理を満たす。
• レート関数は、転送作用素のスペクトル的性質および系の動的性質を用いて明示的に特徴づけられる。
• 1次元設定において、すべての閉集合および開集合について、それぞれ大偏差上界および下界の両方が正当化されていることが確認された。
• この証明は、高温領域に制限されていた従来のクラスタ展開技法の制限を克服し、中間温度のKMS状態へも拡張可能である。
• 結果として、微視的集団と巨視的集団の等価性が、Corollary 5.1で示されたように、1次元量子スピン系において成立することが示唆される。
• 複素平面のコンパクト部分集合上で、転送作用素およびその逆作用素に対する一様な境界が確立され、動的挙動の正則的制御が保証された。