[論文レビュー] Large deviations of multichordal SLE$_{0+}$, real rational functions, and zeta-regularized determinants of Laplacians

Eveliina Peltola, Yilin Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 78被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ハウスドルフ距離を用いて、多弦的SLE$_{0+}$曲線に対する強い大偏差原理（LDP）を確立し、ラプラシアンのゼータ正則化行列式に関係するロエナー汎関数を導入する。この汎関数の最小化子が実有理関数の零点集合であることを証明し、シャピロ予想を裏付け、CFTの半古典的極限とSLE幾何学を結びつける。

ABSTRACT

We prove a strong large deviation principle (LDP) for multiple chordal SLE$_{0+}$ curves with respect to the Hausdorff metric. In the single-chord case, this result strengthens an earlier partial result by the second author. We also introduce a Loewner potential, which in the smooth case has a simple expression in terms of zeta-regularized determinants of Laplacians. This potential differs from the LDP rate function by an additive constant depending only on the boundary data, that satisfies PDEs arising as a semiclassical limit of the Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equations of level two in conformal field theory with central charge $c o -\infty$. Furthermore, we show that every multichord minimizing the potential in the upper half-plane for given boundary data is the real locus of a rational function and is unique, thus coinciding with the $κ o 0+$ limit of the multiple SLE$_κ$. As a by-product, we provide an analytic proof of the Shapiro conjecture in real enumerative geometry, first proved by Eremenko and Gabrielov: if all critical points of a rational function are real, then the function is real up to post-composition by a Möbius transformation.

研究の動機と目的

• ハウスドルフ距離に関して、多弦的SLE$_{0+}$に対する強い大偏差原理（LDP）を確立すること。
• 境界に依存する定数の差を除き、ロエナーエネルギーとは異なるロエナー汎関数を定義・分析すること。
• 滑らかな場合において、ロエナー汎関数をラプラシアンのゼータ正則化行列式に関連付けること。
• 上半平面上での汎関数の最小化子が、境界データによって一意に定まる有理関数の実数的零点集合であること、を示すこと。
• 実代数幾何におけるシャピロ予想を証明する：すべての臨界点が実数である有理関数は、メビウス変換を除いて実関数である。

提案手法

• ループ測度とブラウン運動ループ測度の正則化を用いて、多弦的ロエナー汎関数を導入する。
• ロエナーエネルギーをLDPにおけるレート関数として定義し、汎関数が境界に依存する定数の差を除いてそれと異なること。
• スペクトル幾何学と熱核の漸近挙動を用いて、汎関数をゼータ正則化ラプラシアン行列式の形に表現する。
• 中心電荷 $c \to -\infty$ の場合のCFTのBPZ方程式の半古典的極限を導出し、この汎関数がそれらの偏微分方程式を満たすことを示す。
• ロエナー微分方程式を用いて、最小化子が $\mathbb{H}$ 内で有理関数の実数的零点集合として特徴付けられることを示す。
• 変分法と熱核展開を用いて、ゼータ関数の微分が曲率および境界項に関係することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハウスドルフ距離に関して、多弦的SLE$_{0+}$の大きな偏差率関数は何か？
• RQ2 滑らかな場合において、ロエナー汎関数はゼータ正則化ラプラシアン行列式とどのように関係するか？
• RQ3 CFTの半古典的極限において、最小汎関数が満たす偏微分方程式（PDE）は何か？
• RQ4 上半平面上でのロエナー汎関数のすべての最小化子は、有理関数の実数的零点集合か？
• RQ5 有理関数のすべての臨界点が実数であるという条件は、関数がメビウス変換を除いて実関数であることを示唆するか？

主な発見

• 多弦的SLE$_{0+}$に対して、ロエナーエネルギーをレート関数とする強い大偏差原理が確立された。
• 境界に依存する定数の差を除き、ロエナー汎関数がゼータ正則化ラプラシアン行列式に等しいことが示された。
• 最小汎関数は、$c \to -\infty$ の極限におけるBPZ方程式の半古典的ヌル状態偏微分方程式系を満たす。
• 境界データが与えられた上半平面上での汎関数の最小化子は、すべて有理関数の実数的零点集合であり、一意的である。
• シャピロ予想が解析的に証明された：すべての臨界点が実数である有理関数は、メビウス変換を除いて実関数である。
• 熱核の漸近挙動を用いてロエナー汎関数の変動を計算し、曲率、境界測地線曲率、および角特異点を含む式が得られた。