[論文レビュー] Large dimensional random k circulants

Arup Bose, Joydip Mitra+1 more|ArXiv.org|Mar 1, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、平均0、分散1のi.i.d.入力を持つ大規模なランダム$k$-巡回行列の極限スペクトル分布（LSD）を確立する。$k(n)$に特定の増加条件を課すと、LSDは、$2g$-乗根の単位円上またはそのスケーリング版に、ガンマ型確率変数でスケーリングされた分布に弱収束する。特に$n = k^2 + 1$の下で、スペクトル半径はGumbel分布に明示的に収束する。これらの結果は、構造的$k$-巡回アンサンブルへの古典的ランダム行列理論の拡張を示している。

ABSTRACT

Consider random k-circulants A_{k,n} with n tends to infinity, k=k(n) and whose input sequence \{a_l\}_{l \ge 0} is independent with mean zero and variance one and \sup_n n^{-1}\sum_{l=1}^n \E |a_l|^{2+δ}< \infty for some δ> 0. Under suitable restrictions on the sequence \{k(n)\}_{n \ge 1}, we show that the limiting spectral distribution (LSD) of the empirical distribution of suitably scaled eigenvalues exists and identify the limits. In particular, we prove the following: Suppose g \ge 1 is fixed and p_1 is the smallest prime divisor of g. Suppose P_g=\prod_{j=1}^g E_j where \{E_j\}_{1 \le j \le g} are i.i.d. exponential random variables with mean one. (i) If k^g = -1+ s n where s=1 if g=1 and s = o(n^{p_1 -1}) if g>1, then the empirical spectral distribution of n^{-1/2}A_{k,n} converges weakly in probability to U_1P_g^{1/2g} where U_1 is uniformly distributed over the (2g)th roots of unity, independent of P_g. (ii) If g \ge 2 and k^g = 1+ s n with s = o(n^{p_1-1}) then the empirical spectral distribution of n^{-1/2}A_{k,n} converges weakly in probability to U_2P_g^{1/2g} where U_2 is uniformly distributed over the unit circle in \mathbb R^2, independent of P_g. On the other hand, if k \ge 2, k= n^{o(1)} with \gcd(n,k) = 1, and the input is i.i.d. standard normal variables, then F_{n^{-1/2}A_{k,n}} converges weakly in probability to the uniform distribution over the circle with center at (0,0) and radius r = \exp(\E [ \log \sqrt E_1]). We also show that when n=k^2+1 o \infty, and the input is i.i.d. with finite (2+δ) moment, then the spectral radius, with appropriate scaling and centering, converges to the Gumbel distribution.

研究の動機と目的

• $n \to \infty$ の下で、大規模なランダム$k$-巡回行列の極限スペクトル分布（LSD）の存在を確立し、その特定を図ること。
• 入力行列のサイズ$n$とともに増加する$k = k(n)$の下でLSDを分析すること。特に、$k^g = \pm 1 + sn$ かつ $s = o(n^{p_1 - 1})$ の条件下で分析すること。
• $n = k^2 + 1$ の下で、有限な$(2+\delta)$-次のモーメント条件の下で、スペクトル半径の極限分布を同定すること。
• 特に$n,k$が互いに素で、入力がi.i.d.ガウス分布の場合に、巡回行列に関する既知の結果をより一般的な$k$-巡回構造へ拡張すること。
• 特定の漸近的領域におけるスペクトル半径の中心極限定理型近似およびGumbel極限を導出すること。

提案手法

• 離散フーリエ変換（DFT）を用いて$k$-巡回行列を対角化し、入力系列のDFTによる固有値公式を活用する。
• 置換行列とインデックス上の群作用を用いて、行列を巡回的ブロックに分解し、特性多項式の解析を可能にする。
• 補題14および補題15を用いて、$A_{k,n}$の特性多項式を、サイクル依存行列$L_j$の積と関連づけ、固有値が$\lambda^{n_j} - \Pi_j$で与えられることを示す。
• 弱収束、単位円上の一様変数と指数型積の独立性、および条件$\sup_n n^{-1} \sum_{l=1}^n \mathbb{E}|a_l|^{2+\delta} < \infty$ を満たすモーメント条件を含む確率的道具の適用。
• 極値理論を用いたスペクトル半径の解析により、$n = k^2 + 1$ かつ有限な$(2+\delta)$-次のモーメントの下で、Gumbel分布への収束を示す。
• 特に$k$-軌道の構造に条件を課えることで、LSDを導出する。特に$k^g \equiv \pm 1 \pmod{n}$ の下で$g$-重対称性が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k^g = -1 + sn$ で$s = 1$（$g=1$の場合）かつ$g > 1$ の場合$s = o(n^{p_1 - 1})$ の下で、$n^{-1/2}A_{k,n}$のESDは弱収束するか？その極限は何か？
• RQ2 同じ$s$の増加条件の下で、$k^g = 1 + sn$ の場合、LSDはどのように変化するか？
• RQ3 入力がi.i.d.標準正規分布で、$k \geq 2$、$k = n^{o(1)}$、$\gcd(n,k) = 1$ のとき、LSDは何か？
• RQ4 $n = k^2 + 1$ で有限な$(2+\delta)$-次のモーメントを持つ入力の下で、$A_{k,n}$のスペクトル半径の極限分布は何か？
• RQ5 固定された$g$に対して$k^g \equiv \pm 1 \pmod{n}$ で、$k$-巡回行列をスケーリングした場合、LSDを明示的に特定できるか？

主な発見

• $k^g = -1 + sn$ で$s = 1$（$g=1$の場合）かつ$g > 1$ の場合$s = o(n^{p_1 - 1})$ の下で、$n^{-1/2}A_{k,n}$のESDは弱収束し、$U_1 P_g^{1/2g}$に収束する。ここで$U_1$は$2g$-乗根の単位根上の一様分布で、$P_g = \prod_{j=1}^g E_j$（i.i.d.指数分布、平均1）と独立である。
• $g \geq 2$ で $k^g = 1 + sn$ かつ $s = o(n^{p_1 - 1})$ の下で、$n^{-1/2}A_{k,n}$のESDは弱収束し、$U_2 P_g^{1/2g}$に収束する。ここで$U_2$は$\mathbb{R}^2$上単位円上の一様分布で、$P_g$と独立である。
• $k \geq 2$、$k = n^{o(1)}$、$\gcd(n,k) = 1$、入力がi.i.d.標準正規分布の下で、$n^{-1/2}A_{k,n}$のESDは弱収束し、原点中心で半径$r = \exp(\mathbb{E}[\log \sqrt{E_1}])$ の円周上の一様分布に収束する。
• $n = k^2 + 1 \to \infty$ で有限な$(2+\delta)$-次のモーメントを持つ入力の下で、適切にスケーリング・中心化されたスペクトル半径は分布収束してGumbel分布に収束する。
• LSDは非ガウス分布であり、$k$を$n$で割った剰余の代数的構造に依存する。特に$k^g \equiv \pm 1 \pmod{n}$ の下で、固有値分布に$g$-重対称性が現れる。
• $A_{k,n}$の特性多項式は、$k$-軌道の構造に従い、$n$を法とする$\mathbb{Z}_n$上でのサイクル長と軌道上の入力値に依存するブロック行列の積に分解される。