[論文レビュー] Large Minors in Expanders

Julia Chuzhoy, Rachit Nimavat|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2019

Migration, Refugees, and Integration参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有界次数の拡張グラフに埋め込める最小部分グラフのサイズについて、タイトな上限を確立している。具体的には、最大次数 d で n 頂点の α-拡張グラフは、頂点および辺が合計で Ω(n/(c log n) · (α/d)^c) 個以下のすべてのグラフを最小部分グラフとして含む。著者らは、高い確率でこのような最小部分グラフを効率的に見つける確率的アルゴリズムを提供しており、従来の研究と比較して n に最適な依存関係と、α および d に改善された依存関係を達成している。

ABSTRACT

In this paper we study expander graphs and their minors. Specifically, we attempt to answer the following question: what is the largest function $f(n,α,d)$, such that every $n$-vertex $α$-expander with maximum vertex degree at most $d$ contains {\bf every} graph $H$ with at most $f(n,α,d)$ edges and vertices as a minor? Our main result is that there is some universal constant $c$, such that $f(n,α,d)\geq \frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d} ight )^c$. This bound achieves a tight dependence on $n$: it is well known that there are bounded-degree $n$-vertex expanders, that do not contain any grid with $Ω(n/\log n)$ vertices and edges as a minor. The best previous result showed that $f(n,α,d) \geq Ω(n/\log^κn)$, where $κ$ depends on both $α$ and $d$. Additionally, we provide a randomized algorithm, that, given an $n$-vertex $α$-expander with maximum vertex degree at most $d$, and another graph $H$ containing at most $\frac{n}{c\log n}\cdot \left(\fracα{d} ight )^c$ vertices and edges, with high probability finds a model of $H$ in $G$, in time poly$(n)\cdot (d/α)^{O\left( \log(d/α) ight)}$. We note that similar but stronger results were independently obtained by Krivelevich and Nenadov: they show that $f(n,α,d)=Ω\left(\frac{nα^2}{d^2\log n} ight)$, and provide an efficient algorithm, that, given an $n$-vertex $α$-expander of maximum vertex degree at most $d$, and a graph $H$ with $O\left( \frac{nα^2}{d^2\log n} ight)$ vertices and edges, finds a model of $H$ in $G$. Finally, we observe that expanders are the `most minor-rich' family of graphs in the following sense: for every $n$-vertex and $m$-edge graph $G$, there exists a graph $H$ with $O \left( \frac{n+m}{\log n} ight)$ vertices and edges, such that $H$ is not a minor of $G$.

研究の動機と目的

• すべての n 頂点の α-拡張グラフ（最大次数 d）が、頂点および辺が合計で f(n, α, d) 個以下のすべてのグラフを最小部分グラフとして含むような、最大の関数 f(n, α, d) を特定すること。
• 従来の最良の境界 f(n, α, d) = Ω(n / log^κ n) を改善し、n にタイトな依存関係を達成し、グリッド最小部分グラフの障害から得られる既知の下界と一致させること。
• 高確率で、時間計算量が poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 以内で、このような最小部分グラフのモデルを効率的に発見する確率的アルゴリズムを設計すること。
• d および α により良い依存関係を達成するが、n 依存関係がわずかに弱くなる第二の単純なアルゴリズムを提供し、サイズが O(α³n / (c′d⁵ log²n)) 以下のグラフに対して有効であるようにすること。

提案手法

• 拡張グラフ GΣ の構造的サブグラフ分解において、頂点集合 A₁ および B₃ を構築することで、拡張グラフの well-linked 性を活用する。
• 定理 G.1 を用いて、αw/d 個のノード素性パスの集合を、それぞれが Ω(d/α) 個のパスを含む連結部分グラフに分割し、強固な接続性を保証する。
• 各部分グラフから代表的パスを構築し、それらを用いて well-linked 集合 A₁ および B₃ を定義し、それらの和集合が全体のグラフで well-linked であることを保証する。
• フローに基づく議論を適用して well-linked 性を証明する：F = F₁ + F₂ + F₃ というフロー F を構築し、F₁ および F₃ は部分グラフ内でフローをルーティングし、F₂ は中間層 S₂ を通じて α-拡張性を用いてフローをルーティングする。
• カットスパース化アルゴリズムを繰り返し適用し、カット内の連結成分の数を減少させつつスパarsity を維持または向上させることで、A₁ ∪ B₃ の well-linked 性を証明する。
• 二つの確率的アルゴリズムを設計する：主な境界に対しては poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 時間を要するもの、およびより単純なアルゴリズムで poly(n, d/α) 時間を要するが、n 依存関係がわずかに弱いが α/d に優れた依存関係を達成するもの。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての n 頂点の α-拡張グラフ（最大次数 d）が、頂点および辺が合計で f(n, α, d) 個以下のすべてのグラフを最小部分グラフとして含むような、最大の関数 f(n, α, d) は何か？
• RQ2 最小部分グラフサイズの n 依存関係をタイトにでき、有界次数の拡張グラフにおけるグリッド最小部分グラフの障害から得られる既知の下界と一致させられるか？
• RQ3 時間計算量が n に対して多項式的かつ d および α の関数的であるような、高確率でこのような最小部分グラフモデルを発見できる効率的確率的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 Krivelevich と Nenadov が独立に得た結果 f(n, α, d) = Ω(nα² / (d² log n)) と比較して、新しい境界はどのように異なるか？
• RQ5 拡張グラフは、任意の n 頂点 m 辺グラフが O((n+m)/log n) 個の頂点および辺をもつグラフを最小部分グラフとして含めない限り、『最小部分グラフを最も多く含む』グラフ族としての性質を持つと言えるか？

主な発見

• この論文は、ある絶対定数 c に対して f(n, α, d) ≥ n / (c log n) · (α/d)^c であることを確立し、n にタイトな依存関係を達成しており、グリッド最小部分グラフの障害から得られる既知の下界と一致する。
• 主アルゴリズムは poly(n) · (d/α)^O(log(d/α)) 時間で実行され、n 頂点の α-拡張グラフ（最大次数 d）において、頂点および辺が合計で n / (c log n) · (α/d)^c 個以下のすべてのグラフ H のモデルを高確率で発見する。
• 第二の単純なアルゴリズムは poly(n, d/α) 時間で実行され、H が頂点および辺を合計で α³n / (c′d⁵ log²n) 個以下である場合に高確率で成功する。ここで c′ は絶対定数である。
• 結果として、有界次数の拡張グラフにおける最大クリーク最小部分グラフのサイズに Ω((α/d)^c′ √(n / log n)) の下界が得られ、従来の Ω(α√n / d) の境界より弱いが、グリッド最小部分グラフの結果と同様に n 依存関係が一致する。
• 著者らは、拡張グラフが本質的に最小部分グラフを最も多く含むグラフ族であることを示している：任意の n 頂点 m 辺グラフ G に対して、O((n+m)/log n) 個の頂点および辺をもつグラフ H が存在し、H は G の最小部分グラフではない。
• 本研究は、すべての n 頂点の有界次数の拡張グラフが、サイズ O(n / log n) のすべてのグラフを最小部分グラフとして含むことを確認しており、Excluded Grid Theorem 関連の重要な問いに肯定的に答え、treewidth t(g) に対する g² log g の境界のタイトさを裏付けている。