[논문 리뷰] Large-scale Quantum Approximate Optimization via Divide-and-Conquer

Junde Li, Mahabubul Alam외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 장치에서 해석 가능한 더 큰 MaxCut 그래프를 반복적으로 하위 그래프로 분할하고, 양자 상태 복원을 통해 전역 해를 재구성하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 Divide-and-Conquer QAOA(DC-QAOA)를 제안한다. DC-QAOA는 시간 복잡도를 지수적에서 이차적으로 감소시키며, 97.14%의 근사 비율을 달성하여 고전적 방법보다 20.32% 높고, 양자 냉각보다 15.80% 높은 94.79%의 기대값을 기록한다.

ABSTRACT

Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a promising hybrid quantum-classical algorithm for solving combinatorial optimization problems. However, it cannot overcome qubit limitation for large-scale problems. Furthermore, the execution time of QAOA scales exponentially with the problem size. We propose a Divide-and-Conquer QAOA (DC-QAOA) to address the above challenges for graph maximum cut (MaxCut) problem. The algorithm works by recursively partitioning a larger graph into smaller ones whose MaxCut solutions are obtained with small-size NISQ computers. The overall solution is retrieved from the sub-solutions by applying the combination policy of quantum state reconstruction. Multiple partitioning and reconstruction methods are proposed/ compared. DC-QAOA achieves 97.14% approximation ratio (20.32% higher than classical counterpart), and 94.79% expectation value (15.80% higher than quantum annealing). DC-QAOA also reduces the time complexity of conventional QAOA from exponential to quadratic.

연구 동기 및 목표

• 대규모 조합 최적화 문제에 대한 기존 QAOA의 큐비트 확장성 제한 문제를 해결한다.
• 큰 그래프를 더 작은 해석 가능한 하위 그래프로 분할하여 QAOA의 지수적 시간 복잡도를 극복한다.
• 엔트랑글링 오버헤드 없이 하위해를 전역해로 조합하기 위한 양자 상태 복원 정책을 개발한다.
• 기본 벤치마크 MaxCut 인스턴스에서 고전적 솔버와 양자 냉각과의 성능을 DC-QAOA로 평가한다.
• 해의 품질과 효율성을 극대화하기 위해 알고리즘 파라미터(예: 측정 수, 유지 상태 수)를 최적화한다.

제안 방법

• 큰 그래프를 공유 노드 수가 최소이고 교차 엣지가 없는 하위 그래프로 반복적으로 분할하는 Large Graph Partitioning(LGP) 정책을 적용한다. 이는 각 하위 그래프에서 독립적인 QAOA 실행을 가능하게 한다.
• 교차 엣지를 피하면서 공유 노드를 반복적으로 증가시키는 Naive LGP 히우리스틱을 사용하여 유효한 노드 분리 경로를 찾는다.
• 공통 노드를 기준으로 공유 컷세트 일관성을 기반으로 하위해 측정 분포를 조합하는 Quantum State Reconstruction(QSR) 정책을 구현한다.
• 공통 노드에서의 빈도 또는 확률의 곱과 같은 기준을 사용하여 하위 그래프의 고빈도 해 문자열을 조합하여 원래 그래프의 전체 양자 상태를 재구성한다.
• 각 하위 그래프에 대해 변이 양자 회로와 고전 최적화를 활용하여 최적의 QAOA 파라미터를 찾고, 측정된 샘플링 분포를 사용하여 상태 복원을 수행한다.
• 진짜 전역 상태에 대한 기대값과 Kullback–Leibler 발산을 사용하여 복원 품질을 평가한다.

Figure 1: Finding MaxCut for a large-scale graph using the proposed DC-QAOA algorithm: (a) a graph with 10 nodes that is unsolvable on a small quantum computer (say with 6 qubits); (b) graph partitioning heuristic (proposed LGP policy) splits the larger graph into two subgraphs with almost equal num

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 MaxCut 문제에 대해 기존 QAOA의 큐비트 및 시간 복잡도 제한 문제를 분할-정복 접근법이 완화할 수 있는가?
• RQ2 하위 시스템 측정에서의 양자 상태 복원은 하위 그래프 간 엔트랑글링 없이 전역 해를 회복하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ3 노드 중복 및 교차 엣지로 측정되는 그래프 분할 품질은 재구성된 해의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 대규모 그래프 인스턴스에서 DC-QAOA는 고전적 솔버와 양자 냉각에 비해 근사 비율과 기대값 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 해의 품질을 극대화하면서 런타임을 최소화하는 데 최적의 파라미터 설정(예: 측정 수, 유지 상태 수)은 무엇인가?

주요 결과

• DC-QAOA는 큰 그래프를 더 작은 독립적으로 해석 가능한 하위 그래프로 분할함으로써 QAOA의 시간 복잡도를 지수적에서 이차적으로 감소시킨다.
• 시험된 MaxCut 인스턴스에서 알고리즘은 97.14%의 근사 비율을 달성하였으며, 고전적 랜덤 서치보다 20.32% 포인트 높고, 고전적 대체 방법보다 뚜렷이 뛰어나다.
• DC-QAOA는 94.79%의 기대값을 기록하였으며, 동일한 벤치마크 그래프에서 양자 냉각보다 15.80% 높다.
• 충분한 샘플링(예: 5000개 샘플)이 이루어지면 DC-QAOA는 대부분의 실험 설정에서 근사 최적해에 근접한 해를 일관되게 달성하며, 100%의 근사 비율을 기록한다.
• Node Redundancy Level(NRL) 지표는 분할 과정에서 공유 노드와 교차 엣지를 최소화할수록 큐비트 오버헤드가 감소하고 복원 정확도가 향상됨을 확인한다.
• 하나의 하위 그래프당 t=20회의 측정과 k=7개의 유지 양자 기저 상태에서 최적의 성능을 달성하며, 기대값과 런타임 간의 균형을 잘 이룬다.

Figure 2: QAOA circuit after graph is mapped on a small quantum system for getting MaxCut solution. Gate parameters $(\gamma_{i},\beta_{i})$ are not shown here.