[論文レビュー] Large-time behavior in non-symmetric Fokker-Planck equations

Franz Achleitner, Anton Arnold+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 37被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、非対称Fokker-Planck方程式の3つのクラスに対して、解がその一意な定常状態へ指数的減衰する明示的な減衰率を確立する。修正されたエントロピー法を擬微分作用素的および力学的Fokker-Planck方程式に拡張し、非局所的摂動に対してスペクトル解析を用いて、行列不等式およびスペクトルギャップ推定を用いて鋭い減衰率を証明する。

ABSTRACT

We consider three classes of linear non-symmetric Fokker-Planck equations having a unique steady state and establish exponential convergence of solutions towards the steady state with explicit (estimates of) decay rates. First, "hypocoercive" Fokker-Planck equations are degenerate parabolic equations such that the entropy method to study large-time behavior of solutions has to be modified. We review a recent modified entropy method (for non-symmetric Fokker-Planck equations with drift terms that are linear in the position variable). Second, kinetic Fokker-Planck equations with non-quadratic potentials are another example of non-symmetric Fokker-Planck equations. Their drift term is nonlinear in the position variable. In case of potentials with bounded second-order derivatives, the modified entropy method allows to prove exponential convergence of solutions to the steady state. In this application of the modified entropy method symmetric positive definite matrices solving a matrix inequality are needed. We determine all such matrices achieving the optimal decay rate in the modified entropy method. In this way we prove the optimality of previous results. Third, we discuss the spectral properties of Fokker-Planck operators perturbed with convolution operators. For the corresponding Fokker-Planck equation we show existence and uniqueness of a stationary solution. Then, exponential convergence of all solutions towards the stationary solution is proven with an uniform rate.

研究の動機と目的

• 非対称Fokker-Planck方程式の長時間挙動を解析すること。
• 3つの異なるクラスの非対称Fokker-Planck方程式において、解が定常状態へ向かう明示的な指数的減衰率を確立すること。
• 線形および非線形の勾配を持つ非対称的かつ退化するFokker-Planck方程式に、修正エントロピー法を拡張すること。
• エントロピー法の枠組みにおいて、行列不等式を満たす正定値対称行列を解くことで、最適な減衰率を特定すること。
• 畳み込み作用素による摂動を受けるFokker-Planck作用素のスペクトル的性質および指数的安定性を調査すること。

提案手法

• 線形勾配を持つ非対称Fokker-Planck方程式に修正エントロピー法を適応し、重み付き$L^2$空間とエントロピー散逸推定を用いる。
• 非二次的ポテンシャルを持つ力学的Fokker-Planck方程式に修正エントロピー法を適用し、行列不等式を満たす正定値対称行列を必要とする。
• エントロピー法の枠組みにおいて、最適な減衰率を特徴付ける行列不等式を解くことで、鋭い減衰率を導出する。
• 非局所的摂動を持つFokker-Planck方程式のスペクトル解析を重み付き$L^2$空間で行い、定常解の存在および一意性を証明する。
• 重み付きソボレフ空間におけるコンパクト埋め込みおよびフーリエ解析を用いて、解の正則性および減衰を制御する。
• 密な埋め込み、フーリエ変換の解析接続、スペクトル射影などの関数解析的道具に依存して収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形勾配を持つ非対称Fokker-Planck方程式の解に対して、どのような明示的な指数的減衰率が導けるか？
• RQ2 非線形勾配を持つ非対称Fokker-Planck方程式に対し、修正エントロピー法をどのように適応できるか？
• RQ3 非二次的ポテンシャルを持つ力学的Fokker-Planck方程式に対して、修正エントロピー法によって達成可能な最適な減衰率は何か？
• RQ4 非局所的畳み込み摂動は、Fokker-Planck作用素のスペクトル的性質および長時間挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 Fokker-Planck生成子のスペクトルが非局所的摂動のもとで不変のまま保たれる条件は何か？

主な発見

• 線形勾配を持つヒポコーシブFokker-Planck方程式に対して、修正エントロピー法により明示的な指数的減衰率が得られ、古典的エントロピー法を非対称設定へ拡張する。
• 有界な2階微分を持つ非二次的ポテンシャルを持つ力学的Fokker-Planck方程式に対して、修正エントロピー法を用いて定常状態への指数的収束が証明される。
• 修正エントロピー法における最適な減衰率は、行列不等式を満たす正定値対称行列を最適に選択したときに正確に達成される。
• 鋭い減衰率を達成するすべての最適な行列が特徴付けられ、既存の文献における結果の最適性が証明される。
• 非局所的摂動を持つFokker-Planck方程式に対して、生成子のスペクトルは広いクラスの摂動のもとで不変であり、一意な定常解への一様な指数的収束が保証される。
• 摂動作用素のスペクトルギャップは一様に下から有界であるため、考察された方程式クラス全体にわたって一様な指数的減衰率が保証される。