[論文レビュー] Largest small polygons: A sequential convex optimization approach

Christian Bingane|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大の小さな $n$-角形（直径が1）を求める非凸な二次制約付き二次計画問題を解くために、凹凸凸法（CCCP）と同等の逐次凸最適化手法を提案する。この手法は局所最適解に収束し、$n \leq 12$ の偶数 $n$ に対しては既知のグローバル最適解を回復する。$n \leq 128$ の数値結果から、解は数値精度内でグラハムの予想と軸対称性を満たしていることが示され、近グローバル最適性が示唆される。

ABSTRACT

A small polygon is a polygon of unit diameter. The maximal area of a small polygon with $n=2m$ vertices is not known when $m\ge 7$. Finding the largest small $n$-gon for a given number $n\ge 3$ can be formulated as a nonconvex quadratically constrained quadratic optimization problem. We propose to solve this problem with a sequential convex optimization approach, which is an ascent algorithm guaranteeing convergence to a locally optimal solution. Numerical experiments on polygons with up to $n=128$ sides suggest that the optimal solutions obtained are near-global. Indeed, for even $6 \le n \le 12$, the algorithm proposed in this work converges to known global optimal solutions found in the literature.

研究の動機と目的

• 偶数 $n \geq 6$ における最大の小さな $n$-角形を求める未解決問題に取り組むこと。
• 対称性やグラハムの予想を仮定せずに、最大面積問題を非凸な二次制約付き二次計画問題（QCQP）として定式化すること。
• 局所最適解に収束することが保証される逐次凸最適化アルゴリズムを開発・適用すること。
• $n$ が128までに及ぶ解の性能と質を数値的に評価し、グローバル最適解にどれほど近いかを検証すること。
• 計算された解が、数値許容誤差内において、グラハムの予想と軸対称性という重要な構造的性質を満たしているかを検証すること。

提案手法

• 最大面積問題を、頂点座標を変数とし、直径が1である制約のもとで非凸な二次制約付き二次計画問題（QCQP）として定式化する。
• 逐次凸最適化手法（別名：凹凸凸法：CCCP）を適用し、凸部分問題の逐次解法によって局所最大値に上昇する。
• 各反復で、非凸な目的関数を凸な代替関数で近似し、凸最適化技術を用いて問題を解く。
• アルゴリズムは、GitHub で公開されている OPTIGON というパッケージで実装されており、128頂点までの $n$-角形について再現可能な計算が可能である。
• 偶数 $n$ が6から128までの数値実験を実施し、目的関数値と制約の満たし具合をモニタリングすることで収束を確認した。
• 数値精度の閾値を用いて、解がグラハムの予想（$n-1$ 項のサイクルと1本の余分な辺を持つ直径グラフ）および軸対称性を満たしているかを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数 $n \geq 6$ に対して、逐次凸最適化手法は、最大の小さな $n$-角形問題の非凸QCQP定式化を効果的に解けるか？
• RQ2 本手法により得られた解は、$n \leq 128$ の範囲でグラハムの予想が示す直径グラフ構造を満たしているか？
• RQ3 最適な $n$-角形の軸対称性は、定式化時に対称性を仮定しなくても、計算された解に保存されているか？
• RQ4 $n \leq 12$ の範囲で、計算された解は既知のグローバル最適解にどれほど近いか？
• RQ5 $n > 12$ の解は、数値収束性と構造的一致性に基づいて、どの程度近グローバル最適解とみなせるか？

主な発見

• 偶数 $n$ が6から12の範囲で、アルゴリズムは既知のグローバル最適解に収束し、ベンチマークケースにおける正確性を確認した。
• 計算された $n$-角形（$n \leq 128$）は、数値精度内でグラハムの予想を満たしており、$n-1$ 項のサイクルと1本の余分な辺を持つ直径グラフを有している。
• 最適な $n$-角形は、定式化時に対称性を仮定しなかったにもかかわらず、数値許容誤差内において軸対称であることが確認された。
• 面積の最大値は $n = 128$ で約 0.785201 と推定され、$π/4 \approx 0.785398$ である等直径上限値にゆっくりと収束する傾向を示している。
• アルゴリズムは収束性が強く、平均反復回数は $n=60$ のとき17.02から $n=66$ のとき16.36に減少しており、$n$ に応じた効率的スケーリングが示された。
• OPTIGON パッケージの実装により、再現可能な計算が可能であり、$n=128$ を超える大きな小さな多角形のさらなる探求の基盤が提供された。