[論文レビュー] Lattice compatible operators for fuzzy logic

Daniel J. Greenhoe|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Advanced Algebra and Logic被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、長年にわたって信じられてきた『ファジィ部分集合論理は、分配則、排中律、および冪等性といったブール論理の性質を同時に満たせない』という信念に挑戦する。演算子の積と和が点ごとの評価を仮定するのを緩和することで、非自明なファジィ論理がすべてのブール論理的性質を満たすことができることを示し、冪等性が保たれる中でも(min, max)が唯一の有効な(積, 和)ペアではないことを明らかにする。

ABSTRACT

Constructing a fuzzy subset logic L with Boolean properties is notoriously difficult because under a handful of reasonable conditions, we have the following three debilitating constraints: (1) Bellman and Giertz in 1973 showed that if L is distributive, then it must be idempotent. (2) Dubois and Padre in 1980 showed that if L has the excluded middle or the non-contradiction property or both, then it must be non-idempotent. (3) Bellman and Giertz also demonstrated in 1973 that even if L is idempotent, then the only choice available for the (meet,join) logic operator pair is the (min,max) operator pair. Thus it would seem impossible to construct a non-trivial fuzzy subset logic with Boolean properties. However, this paper examines these three results in detail, and shows that hidden in the hypotheses of the three is the assumption that the operator pair (meet,join) is pointwise evaluated. It is further demonstrated that removing this constraint yields the following results: (A) It is indeed possible to construct fuzzy subset logics that have all the Boolean properties, including that of idempotency, non-contradiction, excluded middle, and distributivity. (B) Even if idempotency holds, (min,max) is not the only choice for (meet,join).

研究の動機と目的

• ファジィ部分集合論理が分配則、排中律、および非矛盾の各主要なブール論理的性質を同時に満たせないという長年のパラドックスを解消すること。
• 従来の結果において暗黙のうちに仮定されていた、積と和の演算子が点ごとに評価されなければならないという仮定の役割を解明すること。この仮定は論理的構造を制限する。
• この仮定を緩和することで、冪等性や分配則を含む完全なブール論理的振る舞いを示すファジィ論理の構築が可能になることを示すこと。
• 冪等性が保たれる中でも(min, max)が唯一の可能な(積, 和)演算子ペアではないことを示すこと。
• より豊かな論理的構造を支持しつつも望ましい代数的性質を保持するファジィ論理のための新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• ベルマンとギエルツ（1973年）およびデュボアとパドー（1980年）の基礎的仮定を分析し、特に積と和の演算子の点ごとの評価に依存する点に注目する。
• 積と和の演算子に対して点ごとの評価をしないフレームワークを導入し、ファジィ部分集合上でのより柔軟かつ構造的な論理的演算を可能にする。
• 演算子が点ごとの計算を要しないラティス構造上で定義されたファジィ部分集合論理を構築し、分配則とブール恒等式の保持を可能にする。
• この新しいフレームワークのもとで、冪等性、分配性、排中律を併せ持つ論理が非自明に保たれることを示す。
• 演算子の意味論を点ごとの評価を超えて再定義することで、すべてのブール論理的性質を満たすファジィ論理の形式的代数的構成を提供する。
• ラティス理論を用いて新しい演算子意味論を形式化し、得られる論理体系が一貫性があり非自明であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分配則、排中律、非矛盾といったすべてのブール論理的性質を満たし、非自明性を保つファジィ部分集合論理を構築することは可能か？
• RQ2 点ごとの評価が、非自明なブール論理的振る舞いを示すファジィ論理の存在を制限する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ3 冪等性が要求される状況でも(min, max)は唯一の可能な(積, 和)演算子ペアなのか、それとも仮定を緩和すれば他のペアも可能か？
• RQ4 ラティスに適合する演算子をどのように定義すれば、ファジィ論理において分配則とブール恒等式を保てるか？
• RQ5 どのような条件下で、ファジィ論理が冪等かつ分配的でありながらも、古典論理に還元されないか？

主な発見

• 分配則、排中律、非矛盾、および冪等性といったすべてのブール論理的性質を満たす非自明なファジィ部分集合論理を構築することが可能である。
• 鍵となる洞察は、ベルマンとギエールツ（1973年）およびデュボアとパドー（1980年）の不可能性結果が、積と和の演算子の点ごとの評価という仮定に依存していることにある。
• 点ごとの評価の制約を除外することで、この論文は、冪等性が保たれる中でも(min, max)が唯一の有効な(積, 和)ペアではないことを構築によって示している。
• 新しいフレームワークにより、ラティスの整合性を保ちつつも、より豊かな演算子構造を実現でき、ブール論理的振る舞いを維持できる。
• 演算子が点ごとの評価ではなくラティス構造上で定義される場合、従来の不可能性定理は適用されないことが示された。
• 本論文は、このような論理の形式的構成を提供し、新しい意味論的フレームワーク内での一貫性と非自明性を証明している。