[論文レビュー] Lattice models from CFT on surfaces with holes I: Torus partition function via two lattice cells

Enrico M. Brehm, Ingo Runkel|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Quantum many-body systems参考文献 60被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、穴あきトーラス上の2次元有理的 conformal field theory (CFT) から、オープンチャネル因子分解と切り詰め三角形セルを用いて1パラメータ族の格子模型を構成する。パラメータは穴の半径であり、高エネルギー状態を抑制することで、UV発散を制御し有限な模型を構成する。ゼロ半径極限では元のCFTの振幅を正確に回復し、接触する穴の極限ではトポロジカル場理論に帰着する。主な貢献は、新規の「クローキング境界条件」を用いて、CFTの全トポロジカル的線状欠損の結合カテゴリを正確に実現したことにある。

ABSTRACT

We construct a one-parameter family of lattice models starting from a two-dimensional rational conformal field theory on a torus with a regular lattice of holes, each of which is equipped with a conformal boundary condition. The lattice model is obtained by cutting the surface into triangles with clipped-off edges using open channel factorisation. The parameter is given by the hole radius. At finite radius, high energy states are suppressed and the model is effectively finite. In the zero-radius limit, it recovers the CFT amplitude exactly. In the touching hole limit, one obtains a topological field theory. If one chooses a special conformal boundary condition which we call "cloaking boundary condition", then for each value of the radius the fusion category of topological line defects of the CFT is contained in the lattice model. The fact that the full topological symmetry of the initial CFT is realised exactly is a key feature of our lattice models. We provide an explicit recursive procedure to evaluate the interaction vertex on arbitrary states. As an example, we study the lattice model obtained from the Ising CFT on a torus with one hole, decomposed into two lattice cells. We numerically compare the truncated lattice model to the CFT expression obtained from expanding the boundary state in terms of the hole radius and we find good agreement at intermediate values of the radius.

研究の動機と目的

• 穴あきトーラス上の2次元有理的CFTから、有限でパラメータ化された格子模型を構成すること。
• 元のCFTが持つ全トポロジカル的対称性（結合カテゴリ）が格子模型に保存されることを保証すること。
• 任意の状態における相互作用頂点を再帰的に計算する手続きを提供すること。
• 格子模型がゼロ半径極限でCFT振幅に収束し、接触する穴の極限でトポロジカル場理論に収束することを示すこと。
• 1つの穴を2つの格子セルに分割したイジングCFTを用いて、数値的にモデルを検証すること。

提案手法

• 格子模型は、穴あきトーラスをオープンチャネル因子分解により切り詰め三角形に分割することで構成される。
• 穴の半径が連続的パラメータとして機能し、高エネルギー状態（UVモード）を抑制する高エネルギー正則化として機能する。
• 全トポロジカル的線状欠損の結合カテゴリが格子模型に埋め込まれるように、特別な「クローキング境界条件」を導入する。
• 切り詰め三角形上で、均一化写像と超幾何関数を用いて、再帰的に相互作用頂点を計算する。
• トーラスの分配関数を閉チャネルとオープンチャネルの両方で評価し、オープンチャネルでは中間の conformal block を用いた状態和の和を用いる。
• Möbius変換と超幾何関数を用いて、均一化写像（例：G₀, ψ₀）の明示的表現を導出し、切り詰め三角形上での相関関数計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき曲面上の2次元有理的CFTから、全トポロジカル的対称性を保ちながら、系統的な方法で有限な格子模型を導出するにはどうすればよいか？
• RQ2 穴の半径は、UV発散を正則化し、CFTとトポロジカル場理論の間を滑らかに接続する役割を果たすか？
• RQ3 CFTの全結合カテゴリが格子模型に正確に実現されるような境界条件をどのように構築できるか？
• RQ4 有限個の格子セルを用いても、ゼロ半径極限で格子模型が正確なCFT振幅を再現できるか？
• RQ5 特に1つの穴を持つイジングCFTにおいて、数値的にCFTの結果と比較した場合、モデルはどの程度の性能を示すか？

主な発見

• クローキング境界条件を用いた格子模型は、元のCFTの全トポロジカル的線状欠損の結合カテゴリを正確に実現する。
• ゼロ半径極限では、2つの格子セルのみを用いても、格子模型が正確なCFT振幅を再現する。
• 接触する穴の極限では、モデルはトポロジカル場理論に簡約され、低エネルギー極限におけるトポロジカル性が確認される。
• イジングCFTにおける数値的比較では、中間的な穴の半径において、切断された格子模型と境界状態展開によるCFT結果との間に良好な一致が得られた。
• 任意の状態における相互作用頂点を再帰的に計算する手続きは、均一化技術と超幾何関数を用いて明示的に構築され、検証された。
• 導出された均一化写像 ψ₀(z) は、(6.15)式で知られている形と一致し、切り詰め三角形上の conformal field theory との整合性が確認された。