[논문 리뷰] Lattice paths and branched continued fractions. III. Generalizations of the Laguerre, rook and Lah polynomials

Bishal Deb, Alexander Dyachenko외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 60인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 간선에 가중치가 부여된 라그에르 다이그래프에서의 격자 경로를 통해 라그에르, 룩, 라흐 다항식의 5변수 일반화를 제안하며, 생산 행렬과 지수형 리오르단 행렬을 이용하여 계수별 헨켈-전체 양의 정성을 증명한다. 주요 결과로는 네다각형 생산 행렬의 광범위한 클래스에 대한 전체 양의 정성을 확장한 것으로, 삼대각형 비교 정리의 일반화이자 분기 연속 분수와 수정 베셀 함수와 관련된 다중 직교 다항식과의 연결고리이다.

ABSTRACT

We introduce a triangular array $\widehat{\sf L}^{(α)}$ of 5-variable homogeneous polynomials that enumerate Laguerre digraphs (digraphs in which each vertex has out-degree 0 or 1 and in-degree 0 or 1) with separate weights for peaks, valleys, double ascents, double descents, and loops. These polynomials generalize the classical Laguerre polynomials as well as the rook and Lah polynomials. We show that this triangular array is totally positive and that the sequence of its row-generating polynomials is Hankel-totally positive, under suitable restrictions on the values given to the indeterminates. This implies, in particular, the coefficientwise Hankel-total positivity of the monic unsigned univariate Laguerre polyomials. Our proof uses the method of production matrices as applied to exponential Riordan arrays. Our main technical lemma concerns the total positivity of a large class of quadridiagonal production matrices; it generalizes the tridiagonal comparison theorem. In some cases these polynomials are given by a branched continued fraction. Our constructions are motivated in part by recurrences for the multiple orthogonal polynomials associated to weights based on modified Bessel functions of the first kind $I_α$.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 부여된 라그에르 다이그래프를 세는 5변수 삼각형 다항식 배열을 정의함으로써 고전적 라그에르, 룩, 라흐 다항식을 다변수 프레임워크로 일반화한다.
• 적절한 미지수 제약 조건 하에서 이 일반화된 다항식의 계수별 헨켈-전체 양의 정성을 확립한다.
• 생산 행렬 이론을 네다각형 형태로 확장하여 기존의 삼대각형 비교 정리의 일반화를 이룬다.
• 이 구성이 제1종 수정 베셀 함수와 관련된 다중 직교 다항식과 연결됨을 밝힌다.
• 일부 다변수 생성 함수가 분기 연속 분수의 계수로서 나타남을 보여준다.

제안 방법

• 저자는 뾰족, 골짜기, 이중 상승, 이중 하강, 고리 등 다섯 가지 간선 유형에 대해 별도의 가중치를 부여한 라그에르 다이그래프를 세는 5변수 다항식 배열 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$를 정의한다.
• 이들의 생성 함수를 모델링하기 위해 지수형 리오르단 행렬과 이항계수 행렬을 사용한다.
• 핵심 기술적 도구로는 다항식의 재귀적 구조를 코딩하는 데 사용되는 새로운 네다각형 형태의 생산 행렬을 사용한다.
• 전체 양의 정성의 증명은 삼대각형에서 네다각형으로의 일반화된 비교 정리에 기반하며, 이는 고전적 결과를 고차원 대각선 행렬로 확장한다.
• 메서드는 부분적으로 순서가 지정된 가환환에서의 헨켈-전체 양의 정성과 계수별 전체 양의 정성 이론을 활용한다.
• 미지수를 수정 베셀 함수 $I_\alpha$ 기반의 가중치와 일치하도록 특수화함으로써 다중 직교 다항식과의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 라그에르, 룩, 라흐 다항식은 방향 그래프에서 다수의 간선 유형을 고려하는 다변수 프레임워크로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 제안된 5변수 다항식 배열은 자연스러운 매개변수 제약 조건 하에서 계수별 헨켈-전체 양의 정성을 보이는가?
• RQ3 새로운 네다각형 생산 행렬의 전체 양의 정성은 기존의 삼대각형 결과를 일반화하여 확립될 수 있는가?
• RQ4 이 일반화된 다항식의 생성 함수에 대해 분기 연속 분수 표현식이 존재하는가?
• RQ5 이 다항식과 제1종 수정 베셀 함수 가중치와 관련된 다중 직교 다항식 사이의 정확한 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 5변수 다항식 배열 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$는 뾰족, 골짜기, 이중 상승, 이중 하강, 고리 등 다섯 가지 간선 유형에 대해 별도의 가중치를 부여함으로써 고전적 라그에르, 룩, 라흐 다항식을 일반화한다.
• 적절한 미지수 제약 조건 하에서 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$의 행 생성 다항식 수열이 헨켈-전체 양의 정성을 보이며, 이는 계수별 헨켈-전체 양의 정성을 함의한다.
• 네다각형 생산 행렬에 대한 새로운 비교 정리가 증명되었으며, 이는 고전적 삼대각형 비교 정리를 일반화하고 고차원 대각선 설정에서의 전체 양의 정성 증명을 가능하게 한다.
• 모닉형 부호 없는 일변수 라그에르 다항식이 계수별 헨켈-전체 양의 정성을 갖는 것으로 밝혀졌으며, 이는 기존 결과를 더 넓은 다항식 클래스로 확장한다.
• 일반화된 다항식의 생성 함수가 분기 연속 분수의 계수로서 나타남이 입증되었으며, 특히 $m=2$ $m$-자코비–로저스 다항식의 맥락에서 중요한 역할을 한다.
• 이 구성은 제1종 수정 베셀 함수 $I_\alpha$ 기반의 가중치와 관련된 다중 직교 다항식과 연결되며, 이러한 특수 함수에 대한 새로운 조합적 해석을 제공한다.