[論文レビュー] Lattice Realizations of Topological Defects in the critical (1+1)-d Three-State Potts Model

Madhav Sinha, F. Yan+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 8

ひとこと要約

この論文は臨界状態の(1+1)-次元3-state Pottsモデルにおけるトップロジカルな線欠陥の格子 realizations を構築・分析し、格子欠陥/線演算子を連続体 CFT 対応物と ED/DMRG、エンタングルメントエントロピー、および g-関数を通じて結びつける。

ABSTRACT

Topological/perfectly-transmissive defects play a fundamental role in the analysis of the symmetries of two dimensional conformal field theories (CFTs). In the present work, spin chain regularizations for these defects are proposed and analyzed in the case of the three-state Potts CFT. In particular, lattice versions for all the primitive defects are presented, with the remaining defects obtained from the fusion of the primitive ones. The defects are obtained by introducing modified interactions around two given sites of an otherwise homogeneous spin chain with periodic boundary condition. The various primitive defects are topological on the lattice except for one, which is topological only in the scaling limit. The lattice models are analyzed using a combination of exact diagonalization and density matrix renormalization group techniques. Low-lying energy spectra for different defect Hamiltonians as well as entanglement entropy of blocks located symmetrically around the defects are computed. The latter provides a convenient way to compute the $g$-function which characterizes various defects. Finally, the eigenvalues of the line operators in the "crossed channel'' and fusion of different defect lines are also analyzed. The results are all in agreement with expectations from conformal field theory.

研究の動機と目的

• 1+1D CFTにおけるトップロジカル/欠陥線を、3-state Pottsモデルの格子正規化を通じて動機づけ・研究する。
• 原始的なトップロジカル線（η, C, N, W）の格子実現を提供し、それらの融合則と作用を導出する。
• 欠陥スペクトルとエンタングルメント基づく g-function を計算し、連続体 CFT の期待と照合する。
• 格子線演算子が primaries および欠陥のヒルベルト空間に対して連続体の作用を再現することを示す。

提案手法

• L 個の鎖状臨界 Potts ハミルトニアンを定義し、Potts/Temperley-Lieb 発生子で表現する。
• 隣接する二つのサイトの局所的な改変によって格子欠陥を構築し、欠陥ハミルトニアン H_D を定義する。
• 対称性作用や積分可能性に基づく伝達行列アプローチを用いて格子上に線演算子を構築し、スペクトルパラメータずらしを用いて N および W を実装する。
• 欠陥を含む系について正確対角化と DM RG を用いて低エネルギースペクトルとエンタングルメントエントロピーを取得する。
• エンタングルメントエントロピーのスケーリングから g-関数を抽出し、η, C, N, W 欠陥に対する CFT の予測と比較する。
• 格子 RSOS (D4) 実現を Potts 鎖と関連付け、基底間の同等性/多重性を論じる。
• モジュラー変換を用いて欠陥スペクトル Z_D と交差チャネル線演算子 Ď を関連付ける。

Figure 1: Above : A graphical illustration of the three-state Potts model, where each blue dot represents a spin site. Nearest-neighbor interactions are represented by horizontal links connecting the spins, while vertical links represent the transverse field. Below : Local modifications involved in

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的な 3-state Potts 模型における原始的なトップロジカル線 η, C, N, W の格子対応は何か？
• RQ2 格子上の欠陥スペクトル、線演算子固有値、およびエンタングルメント基づく g-function は、連続体 Potts CFT の予測と一致するか？
• RQ3 RSOS および TL-積分可能構成は格子上で N および W 線をどのように実現し、融合則を再現するか？
• RQ4 エンタングルメントエントロピーを用いて欠陥 g-関数を抽出し、それぞれの欠陥の期待値を検証できるか？
• RQ5 格子線演算子の交差チャネル振る舞いと融合特性は CFT の期待と一致するか？

主な発見

• η, C の格子実現は格子上ではトポロジカルであるが、W 欠陥は有限格子間隔ではトポロジカルでなく、連続体へ収束する過程で W 線へ flow する。
• 欠陥 g-関数のエンタングルメントエントロピーから抽出された値は CFT の期待と一致する： g_η = g_C = 1、g_N = √3、g_W = (1+√5)/2。
• 線演算子 η̂, Ĉ, N̂ は格子上でトポロジカルであり、N̂ は Potts 鎖における Kramers–Wannier 対称性を実装する一方、 Ŵ はトポロジカルではなく連続体線へ収束する。
• N および N′ (N′ = CN) は積分可能な格子法または鎖の半分を Z3 ガウジングすることにより構築可能で、Z3 Tambara–Yamagami 融合則を満たす。
• N̂ は Temperley–Lieb代数の中心的要素であり、欠陥のヒルベルト空間上で非自明に作用することが欠陥スペクトル表で示される。
• 交差チャネルスペクトル Z_D および primaries 上の線演算子の作用は Potts CFT の表と一致し、格子実現が連続体の期待を再現することを確認する。

Figure 2: The $\mathbf{D}_{4}$ dynkin diagram and its adjacency matrix.