[논문 리뷰] Learning Potentials of Quantum Systems using Deep Neural Networks

Arijit Sehanobish, Héctor H. Corzo외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 23.

Machine Learning in Materials Science참고 문헌 74인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 깊이 있는 신경망을 사용하여 확률 분포에서 양자 잠재 에너지 함수를 비지도 학습 방식으로 학습하는 양자 잠재 에너지 신경망(QPNN)을 제안한다. 위그너–모일 방정식과 역양자역학을 활용하여 QPNN는 높은 정확도로 잠재 에너지 함수를 재구성하며, Pöschl–Teller 잠재 에너지 함수에 대해 10⁻⁴ 이하의 RMSE를 달성한다. 이는 제한된 관측값으로부터 해밀토니안을 재구성하는 데이터 효율적인 접근 방식을 보여준다.

ABSTRACT

Attempts to apply Neural Networks (NN) to a wide range of research problems have been ubiquitous and plentiful in recent literature. Particularly, the use of deep NNs for understanding complex physical and chemical phenomena has opened a new niche of science where the analysis tools from Machine Learning (ML) are combined with the computational concepts of the natural sciences. Reports from this unification of ML have presented evidence that NNs can learn classical Hamiltonian mechanics. This application of NNs to classical physics and its results motivate the following question: Can NNs be endowed with inductive biases through observation as means to provide insights into quantum phenomena? In this work, this question is addressed by investigating possible approximations for reconstructing the Hamiltonian of a quantum system in an unsupervised manner by using only limited information obtained from the system's probability distribution.

연구 동기 및 목표

• 시스템의 해밀토니안에 대한 사전 지식 없이 제한된 관측값에서 양자 잠재 에너지 함수를 재구성하는 방법을 개발하는 것.
• 비지도 방식으로 신경망을 사용하여 역슈뢰딩거 방정식을 해결하고, 역양자역학의 과제를 해결하는 것.
• 파동함수 또는 위그너 함수에서 부분 정보만을 사용하여도 복잡한 양자 시스템의 효과적인 해밀토니안 구축을 가능하게 하는 것.
• 깊이 있는 신경망이 확률 분포를 관찰함으로써 양자 현상에 대한 인도적 편향을 학습할 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• QPNN는 잔류 연결을 갖춘 4층 피드포워드 신경망이며, 확률 분포를 입력으로 사용하여 공간 좌표에서 잠재 에너지 함수로 매핑하도록 훈련된다.
• 이 방법은 양자 위상공간 역학을 모델링하기 위해 위그너–모일 방정식을 사용하며, 무한차수 편미분방정식을 단순화된 전개로 근사한다.
• 파동함수 또는 위그너 준확률 분포를 감독 신호로 사용하여 비지도 방식으로 네트워크를 훈련한다.
• 일반화 성능 향상과 국소 최적값 회피를 위해 최종 레이어에 다양한 활성화 함수와 스케일링 전략을 적용한다.
• 훈련 데이터는 시스템 도메인에서 무작위로 샘플링된 공간 점들로 구성되며, 배치 크기는 32이며 실험당 1000 에포크 동안 훈련된다.
• 이 접근법은 조화 진동자, Pöschl–Teller, 수소와 유사한 원자, 솔리톤 등 다양한 양자 시스템에서 검증되었으며, 실수 및 위그너 분포 데이터를 모두 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안에 대한 명시적 지식 없이도 깊이 있는 신경망이 확률 분포에서 양자 시스템의 잠재 에너지 함수를 재구성할 수 있는가?
• RQ2 파동함수 또는 위그너 함수와 같은 관측값만을 사용하여 신경망이 슈뢰딩거 방정식의 역해를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ3 활성화 함수와 잔류 연결과 같은 아키텍처 선택이 다양한 양자 시스템 간 일반화 능력에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 복잡하거나 비해석적 잠재 에너지 함수를 가진 시스템, 예를 들어 Pöschl–Teller 또는 원형 수소 잠재 에너지 함수에 대해 QPNN의 일반화 능력은 어느 정도인가?
• RQ5 비양수 정의이자 수학적으로 도전적인 위그너 준확률 분포에서 QPNN이 잠재 에너지를 학습할 수 있는가?

주요 결과

• Pöschl–Teller 잠재 에너지 함수에 대해 QPNN는 진짜 잠재 에너지와 학습된 잠재 에너지 간의 RMSE가 1.0×10⁻⁴ ± 6.0×10⁻⁵를 기록하여 높은 재구성 정확도를 보였다.
• 원형 수소 원자에 대해 모델은 잠재 에너지 재구성에서 RMSE가 3.0×10⁻⁴ ± 8.0×10⁻⁵를 기록하여 특이점이 있는 시스템에서도 강건함을 입증했다.
• 조화 진동자에 대해 모델은 잠재 에너지 재구성에서 RMSE가 1.1×10⁻¹ ± 5.0×10⁻²이며, 에너지 예측 오차는 1.0×10⁻¹ ± 2.0×10⁻²였다.
• 2차원 조화 진동자에 대해 잠재 에너지 및 에너지의 RMSE는 각각 3.0×10⁻³ ± 9.0×10⁻⁴ 및 4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁴였으며, 차원 간 일관된 성능을 보였다.
• 상자 안의 입자 시스템에서는 성능이 열악했다(RMSE = 4.3×10⁻¹ ± 6.0×10⁻²), 이는 잠재 에너지의 비연속성과 부드럽지 않은 파동함수 때문일 가능성이 높다.
• 위그너 함수로 훈련했을 경우, QPNN는 조화 진동자 잠재 에너지에 대해 RMSE가 4.0×10⁻³ ± 8.0×10⁻⁵를 기록하여 위상공간 분포에서 학습이 가능한 것을 확인했다.