[論文レビュー] Learning quantum states and unitaries of bounded gate complexity

Haimeng Zhao, L. H. Lewis+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ゲート複雑性 $ G $ が有界な量子状態およびユニタリ操作を、$ G $ に線形にスケーリングするサンプルおよびクエリの複雑性で学習できることを確立している。これは、データ要件の観点から学習が効率的であることを示している。一方、標準的な暗号的仮定のもとでは、このような状態およびユニタリ操作の計算複雑性は $ G $ に対して指数的に増加するため、データ効率性と計算の難易度の間には根本的なトレードオフが存在する。

ABSTRACT

While quantum state tomography is notoriously hard, most states hold little interest to practically-minded tomographers. Given that states and unitaries appearing in Nature are of bounded gate complexity, it is natural to ask if efficient learning becomes possible. In this work, we prove that to learn a state generated by a quantum circuit with $G$ two-qubit gates to a small trace distance, a sample complexity scaling linearly in $G$ is necessary and sufficient. We also prove that the optimal query complexity to learn a unitary generated by $G$ gates to a small average-case error scales linearly in $G$. While sample-efficient learning can be achieved, we show that under reasonable cryptographic conjectures, the computational complexity for learning states and unitaries of gate complexity $G$ must scale exponentially in $G$. We illustrate how these results establish fundamental limitations on the expressivity of quantum machine learning models and provide new perspectives on no-free-lunch theorems in unitary learning. Together, our results answer how the complexity of learning quantum states and unitaries relate to the complexity of creating these states and unitaries.

研究の動機と目的

• 自然界の大多数の状態が制限された回路深さで物理的に実現可能であることを踏まえ、ゲート複雑性 $ G $ が有界な量子状態およびユニタリ操作を、効率的に学習できるかどうかを明らかにすること。
• トレース距離および平均ケース誤差の指標に基づき、有界複雑性の量子状態およびユニタリ操作の学習における、タイトなサンプルおよびクエリの複雑性の境界を確立すること。
• 有界複雑性の量子状態およびユニタリ操作の学習の計算複雑性を、特に暗号的難易度仮定の下で調査すること。
• 平均ケース学習と最悪ケース学習のユニタリ操作における違いを明確にし、クエリ複雑性において指数的分離を示すこと。
• 量子機械学習モデルおよび量子プロセス学習における無料の定理（no-free-lunch theorems）への影響を検討すること。

提案手法

• $ G $ 個の2キュービットゲートによって生成される純粋な量子状態を学習するアルゴリズムを提案。このアルゴリズムは、対数的要因を除き $ O(G) $ 個のサンプルでトレース距離 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ を達成する。
• $ G $ 個の2キュービットゲートから構成されるユニタリ操作を、平均ケース誤差 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 以内に学習するクエリベースのアルゴリズムを導入。このためには $ O(G) $ 個のクエリが必要である。
• ユニタリ $ t $-デザインおよびメトリックエントロピー理論の道具を用いて、$ G $ ゲートのブリックワーク回路における識別可能なユニタリ操作の数の下界を導出する。
• マーカフの不等式および近似ユニタリ $ t $-デザインのモーメントバウンドを用いて、$ G $ ゲート回路のメトリックエントロピーが $ ilde{ heta}(tn) $ であることを示し、ここで $ t $ はデザイン次数である。
• 確率的構成を用いて、$ M riangleq ilde{ heta}(rac{1}{ ext{poly}(t)}) $ 個のユニタリ操作が、互いのフロベニウス距離が下限で抑えられるように配置可能であることを示し、これによりメトリックエントロピーの下界を確立する。
• ダイヤモンド距離（最悪ケース）におけるユニタリ操作の学習には、$ G $ に対して指数的に多くのクエリが必要であるのに対し、平均ケース学習では $ G $ に線形にスケーリングする。これにより、最悪ケースと平均ケースの学習の間で指数的分離が確立される。

Figure 1: (a)-(c) Schematic overview of the learning models in this work. (a) Learning quantum states with bounded circuit complexity $G$ . (b) Learning unitaries with bounded circuit complexity $G$ . (c) Learning classical functions from quantum experiments with bounded circuit complexity $G$ . (d)

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲート複雑性 $ G $ が有界な量子状態およびユニタリ操作は、$ G $ に線形にスケーリングするサンプル／クエリの複雑性で学習可能か？
• RQ2 有界複雑性の量子状態およびユニタリ操作の学習において、サンプル／クエリの複雑性と計算複雑性の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 クエリ複雑性の観点から、平均ケース学習と最悪ケース学習のユニタリ操作の間には指数的分離が存在するか？
• RQ4 Ring-LWE などの暗号的仮定のもとで、有界複雑性の量子状態およびユニタリ操作の学習の計算の難易度はどのように関連しているか？
• RQ5 量子機械学習モデルの表現力に根本的な制限が生じる理由は、学習対象の量子プロセスの複雑性に起因するのか？

主な発見

• トレース距離 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 以内に $ G $ ゲートの量子状態を学習するためのサンプル複雑性は、対数的要因を除き $ O(G) $ であり、この境界はタイトである。
• 平均ケース誤差 $ ilde{O}(rac{1}{ ext{poly}(G)}) $ 以内に $ G $ ゲートのユニタリ操作を学習するためのクエリ複雑性は $ G $ に線形にスケーリングし、これは対数的要因を除き最適である。
• ダイヤモンド距離（最悪ケース）におけるユニタリ操作の学習には、$ G $ に対して指数的に多くのクエリが必要であり、最悪ケースと平均ケースの学習の間で指数的分離が確立される。
• 量子サブ指数的難易度の Ring-Learning-with-Errors (RingLWE) を仮定すると、$ ilde{O}(G) $ 個のサンプルで $ G $ ゲートの状態またはユニタリ操作を学習する任意の量子アルゴリズムは、$ G $ に対して指数的に増加する時間で実行されなければならない。
• 計算の難易度における相転移は $ G riangleq ilde{ heta}( ext{poly}( ext{polylog}(n))) $ で発生し、$ G = O( ext{polylog}(n)) $ の場合にのみ $ ext{poly}(n) $ 時間のアルゴリズムが存在する。これは、指数的サンプル複雑性が発動する前の鋭い閾値を示している。
• $ G $ ゲートのブリックワーク回路が $ ilde{O}(1) $-近似 $ t $-デザインを形成する場合、そのメトリックエントロピーは $ ilde{ heta}(tn) $ で下限づけられる。これは、識別可能なユニタリ操作の数が $ t $ および $ n $ に従って増加することを示している。