[論文レビュー] Least Squares Methods for Equidistant Tree Reconstruction

Conor Fahey, Serkan Hoşten+2 more|ArXiv.org|Aug 28, 2008

Remote Sensing and LiDAR Applications参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$K_n$ のグラフ的マトロイドのベルグマン複体を用いて、等距離木の再構成のための幾何的枠組みを提案する。UPGMAがこの複体の最大セルへの直交射影を実行することを示している。主な貢献は、最小二乗等距離木が、ある最大ベルグマンセルへの直交射影によって得られることの証明であり、UPGMAが常に最適解をもたらすわけではないことの示唆に基づき、新たな拡張UPGMAアルゴリズムと正確な木選択のための分枝限定法が提案されている。データは、特定の入力に対して少なくとも $(n-1)!$ 個の最適木が存在することを示している。

ABSTRACT

UPGMA is a heuristic method identifying the least squares equidistant phylogenetic tree given empirical distance data among $n$ taxa. We study this classic algorithm using the geometry of the space of all equidistant trees with $n$ leaves, also known as the Bergman complex of the graphical matroid for the complete graph $K_n$. We show that UPGMA performs an orthogonal projection of the data onto a maximal cell of the Bergman complex. We also show that the equidistant tree with the least (Euclidean) distance from the data is obtained from such an orthogonal projection, but not necessarily given by UPGMA. Using this geometric information we give an extension of the UPGMA algorithm. We also present a branch and bound method for finding the best equidistant tree. Finally, we prove that there are distance data among $n$ taxa which project to at least $(n-1)!$ equidistant trees.

研究の動機と目的

• $n$ 枝を持つ等距離木の空間の幾何的構造を、完全グラフ $K_n$ のベルグマン複体を用いて理解すること。
• UPGMAアルゴリズムがベルグマン複体の最大セルへの直交射影としてどのように動作するかを分析すること。
• UPGMAが最小二乗等距離木を生成しない条件を同定すること。
• 新たな拡張UPGMAアルゴリズムと、グローバルに最適な等距離木を特定するための分枝限定法を開発すること。
• 与えられた距離データセットに対して最適な等距離木が存在する最小数を下界として確立すること。少なくとも $(n-1)!$ 個の木が最適であることを示す。

提案手法

• すべての $n$ 枝を持つ等距離木の空間を、$K_n$ のグラフ的マトロイドのベルグマン複体 $\mathcal{B}_n$ としてモデル化する。これは多面体複体である。
• 入力距離データベクトルが $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ に属する場合、UPGMAが標準ユークリッド内積に基づく最大セルへの直交射影を実行することを証明する。
• 真の最小二乗等距離木は、ある最大ベルグマンセルへの直交射影に対応するが、UPGMAが選ぶセルとは必ずしも一致しないことの証明。
• 各セルが同じ最大ベルグマンセルの集合へ射影するデータベクトルに対応する、データ空間 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ の多面体分割を導入する。
• ベルグマン複体の幾何的構造に基づき、複数の候補となる最大セルを探索する拡張UPGMAアルゴリズムを提案する。
• すべての最大セルへの射影を評価することで、グローバルに最適な等距離木を体系的に探索する分枝限定アルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた非類似マップに対して、UPGMAは常に最小二乗等距離木を生成するか？
• RQ2 等距離木の空間と最小二乗最適化問題との間の幾何的関係は何か？
• RQ3 最小二乗最適な等距離木は、ベルグマン複体 $\mathcal{B}_n$ の最大セルへの直交射影によって得られるか？
• RQ4 1つの距離データセットに対して、いくつの異なる等距離木が最適となるか？
• RQ5 ベルグマン複体の構造を活用することで、最小二乗等距離木再構成においてUPGMAを上回る精度のアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• UPGMAは入力距離データをベルグマン複体 $\mathcal{B}_n$ の最大セルへ直交射影するが、その射影が常に最小二乗最適木をもたらすわけではない。
• グローバルに最適な等距離木は、ある最大ベルグマンセルへの直交射影によって得られるが、UPGMAが選ぶセルとは必ずしも一致しない。
• $n$ 個の分類群の距離データセットにおいて、最小二乗基準を満たす等距離木が少なくとも $(n-1)!$ 個存在する例が存在する。
• データ空間 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ の多面体分割において、同じ最大ベルグマンセル集合へ射影する領域が非連結な成分を有する場合がある。
• 11〜19種の胎盤類哺乳類からなる生物学的データセットにおいて、非時計的特徴を有する種が増えるにつれ、最適な等距離木の数は1から6に増加した。これは分子時計からの逸脱に対する感受性を示している。
• 18種までのデータセットでは、アフロテリアン、ゼナサル、ボレオテリアンの系統の分岐順序が、常に最小二乗木によって支持された。これはベイジアン推定や最尤法の結果と一致したが、偶蹄目とコウノトリ目の位置関係には一貫した不一致が残っていた。