[論文レビュー] Least-squares Solutions of Linear Differential Equations

Daniele Mortari|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非定数係数をもつ非同次線形微分方程式を解くための最小二乗法を提示している。未知関数 g(t) を含む制約付き表現に制約を埋め込むことで、Chebyshev多項式を用いた近似により g(t) を近似する。この手法は初期値問題において MATLAB の ODE45 よりも 5 次のオーダー高い精度を達成し、残差と条件数解析を用いて境界値問題における解なし、一意解、無限解を効果的に区別する。

ABSTRACT

This study shows how to obtain least-squares solutions to initial and boundary value problems to nonhomogeneous linear differential equations with nonconstant coefficients of any order. However, without loss of generality, the approach has been applied to second order differential equations. The proposed method has two steps. The first step consists of writing a constrained expression, introduced in Ref. \cite{Mortari}, that has embedded the differential equation constraints. These expressions are given in term of a new unknown function, $g (t)$, and they satisfy the constraints, no matter what $g (t)$ is. The second step consists of expressing $g (t)$ as a linear combination of $m$ independent known basis functions, $g (t) = \mathbfξ^T \mathbf{h} (t)$. Specifically, Chebyshev orthogonal polynomials of the first kind are adopted for the basis functions. This choice requires rewriting the differential equation and the constraints in term of a new independent variable, $x\in[-1, +1]$. The procedure leads to a set of linear equations in terms of the unknown coefficients vector, $\mathbfξ,$ that is then computed by least-squares. Numerical examples are provided to quantify the solutions accuracy for initial and boundary values problems as well as for a control-type problem, where the state is defined in one point and the costate in another point.

研究の動機と目的

• 非定数係数をもつ線形微分方程式と任意の初期または境界条件を解く反復を要しない最小二乗法の開発。
• 閉形式解が得られない非同次線形ODEに対する一般解法の欠如に対処すること。
• 同一の制約付き表現形式を用いて初期値問題と境界値問題の両方を統一的に取り扱うフレームワークの提供。
• 残差と条件数の分析により、解が既知、未知、なし、無限個ある問題を正確に解けるようにすること。
• 非線形方程式、偏微分方程式、最適な基底選択への将来的な拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 特殊関数 βi(t, t̲) を用いて、微分方程式および境界/初期条件を直接埋め込んだ制約付き表現が用いられる。
• 未知の解 y(t) は y(t) = g(t) + Σβi(t, t̲)(y_t̲i^(d̲i) - g_t̲i^(d̲i)) と表現され、g(t) は近似対象の自由関数である。
• 関数 g(t) は g(t) = ξᵀh(t) と展開され、h(t) は第1種の m 個の直交Chebyshev多項式からなるベクトルである。
• 微分方程式が g(t) の関数として再定式化され、N 点でのコロケーションにより ξ に関する線形方程式系が得られる。
• 係数ベクトル ξ はコロケーション点における残差の最小二乗最小化により計算される。
• 本手法は一般性を失わず2階方程式に適用可能であるが、任意の階数に拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数係数をもつ線形微分方程式と任意の制約をもつ反復を要しない最小二乗法を開発可能か？
• RQ2 未知関数に依存せず、解の形に直接制約を埋め込む方法は何か？
• RQ3 Chebyshev多項式は、このような方程式の解の近似に安定的かつ高精度な基底を提供できるか？
• RQ4 境界値問題において、一意解、解なし、無限解を区別する際、本手法はどの程度有効か？
• RQ5 標準的なODEソルバー（例：ODE45）と比較して、最小二乗解の精度と数値的安定性（条件数）の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 初期値問題において、既知の解が存在する場合、最小二乗法は MATLAB の ODE45 よりも 5 次のオーダー高い精度を達成する。
• 境界値問題において、残差の平均値と最小二乗方程式の条件数は、解なしの問題と無限解を持つ問題を信頼性高く区別できる。
• 解の誤差は積分区間全体にわたりほぼ一様に分布するが、従来の手法とは異なり時間経過とともに誤差が蓄積されない。
• 本手法は初期値問題と境界値問題の両方に同等に適用可能であり、統一的な解法フレームワークを提供する。
• 反復を要せず、基本解を求める必要がないため、閉形式解が得られない方程式に対しても適している。
• 非線形方程式、偏微分方程式、重み付き最小二乗形式への拡張の可能性は示唆されるが、これらは未解決の研究分野のままである。