[論文レビュー] Lecture notes on differential calculus on RCD spaces

Nicola Gigli|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、L²-ノルム付きL∞-加群の枠組みを用いて、倍加やPoincaré不等式を仮定せずに、RCD空間上の微分積分学を自己完結的に導入する。第一および第二順位の微分積分学を強固に確立する。主な貢献は、改善されたBochner不等式 (0.2) であり、これはL²におけるHessianと共変微分の定義を可能にし、外微分の閉性とRCD空間上のde Rhamコホモロジーに対するHodge定理を導く。

ABSTRACT

These are extended notes of the course given by the author at RIMS, Kyoto, in October 2016. The aim is to give a self-contained overview on the recently developed approach to differential calculus on metric measure spaces. The effort is directed into giving as many ideas as possible, without losing too much time in technical details and utmost generality: for this reason many statements are given under some simplifying assumptions and proofs are sometimes only sketched.

研究の動機と目的

• L²-ノルム付きL∞-モジュールを用いて、一般の距離測度空間上での基礎的第一次微分積分学を構築すること。
• 特にBochner不等式を通じて、RCD(K,∞)空間上での第二順位構造へのこの微分積分学の拡張。
• すべてのk ∈ ℕに対してk-形式上の外微分の閉性を確立し、Hodge定理を可能にすること。
• 接モジュールと点付き測度付きGromov-Hausdorff極限を介して、解析的および幾何的次元概念を結びつけること。
• RCD*(K,N)空間をN-Ricciテンソルおよびベクトル場のトレースと発散に関する条件によって特徴付けること。

提案手法

• 理論はL²-ノルム付きL∞-モジュールに基づき、ベクトルバンドルのL²セクション空間を抽象化する。
• 余接モジュールは1-形式の空間の双対として定義され、Sobolev関数の微分はテストプランとプッシュダウンを介して定義される。
• 接モジュールは余接モジュールの双対として構成され、ベクトル場と流れの定義を可能にする。
• 弱い形での改善されたBochner不等式 (0.2) が導出され、これによりL²におけるHessianと共変微分の定義が可能になる。
• 外微分はHilbertモジュールの外冪を用いてSobolev k-形式上で定義され、改善されたBochner恒等式の積分を用いてその閉性が証明される。
• N-Ricciテンソルはリッチ曲率に補正項RNを加えることで導入され、RCD*(K,N)空間の特徴付けを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさやPoincaré不等式を仮定しないRCD空間上でも、一貫性のある第二順位微分積分学を構築できるか？
• RQ2 RCD設定下でk-形式上の外微分は閉じているか？ そして、これによりHodge分解が可能になるか？
• RQ3 解析的次元（接モジュールを介して）と幾何的次元（点付き測度付きGromov-Hausdorff極限を介して）は、RCD空間においてどのように関係するか？
• RQ4 N-RicciテンソルおよびHessianのトレースを用いて、RCD*(K,N)空間をどのような条件下で特徴付けられるか？
• RQ5 Hodge定理およびde Rhamコホモロジーを非滑らか距離測度空間へ一般化できるか？

主な発見

• すべてのk ∈ ℕに対して、Sobolev k-形式の空間上での外微分は閉じており、これはk=0の場合を越える新しい結果である。
• 改善されたBochner不等式 (0.2) は、不等式 ∫|Hess f|_HS² d𝔪 ≤ ∫(Δf)² - K|∇f|² d𝔪 を意味し、多くの関数がL²のHessianを持つことを保証する。
• 𝔪-ほとんど everywhere で x ∈ X に対して、解析的局所次元 dim_loc(x) は幾何的接空間次元 n(x) に等しい。これにより、解析的および幾何的次元概念が結びつけられる。
• RCD(0,N)空間において、第一de Rhamコホモロジーの次元がNであれば、空間は平坦なN-トーラスに等長写像である。
• N-Ricciテンソルは、三つの条件を用いてRCD*(K,N)空間を特徴付ける：dim_loc ≤ N、{dim_loc = N} 上で tr(∇X) = div X almost everywhere、および Ric_N(X,X) ≥ K|X|² 𝔪 が成り立つ。
• de Rhamコホモロジーに対するHodge定理は、RCD空間上で成り立ち、古典的結果を非滑らか設定へ一般化する。