[论文解读] Lefschetz trace formula and l-adic cohomology of Lubin-Tate tower

Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过Lefschetz迹公式，重新诠释了Lubin-Tate上拉丛的$ι$-进上同调，聚焦于$D^\times$的不可约光滑表示$\rho$的虚拟表示$H_{\mathrm{LT}}$的$ρ$-同态分量。证明了$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在模抛物诱导的格罗滕迪克群中的像为$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}（\rho）]$，建立了与局部Jacquet-Langlands对应关系的精细联系，并将结果推广至非超临界表示。

ABSTRACT

In this article, we investigate the alternating sum of the l-adic cohomology of the Lubin-Tate tower by the Lefschetz trace formula. Our method gives slightly stronger results than in the preceding work of Strauch.

研究动机与目标

• 通过以$D^\times$-表示为中心的对偶视角，而非$\mathrm{GL}_d(F)$-超临界表示，重新推导Strauch关于Lubin-Tate上拉丛的工作的表示论部分。
• 通过分析$D^\times$上一般不可约光滑表示$\rho$的$\rho$-同态分量，将对Lubin-Tate上拉丛的$\ell$-进上同调的理解扩展至超临界表示之外。
• 利用局部调和分析与轨道积分的转移，建立$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$的分布特征标与$\rho$的特征标之间的精确特征标关系。
• 证明$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在商格罗滕迪克群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$中的像恰好为$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}(\rho)]$，从而在上同调范畴中确认了局部Jacquet-Langlands对应关系。

提出的方法

• 利用Lefschetz迹公式，将$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$的分布特征标与局部调和分析中的轨道积分及转移映射联系起来。
• 证明$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在$\mathrm{GL}_d(F)$中椭圆正则元素集合上的特征标由一个与$\rho$的特征标紧密相关的局部常值函数$\theta_\rho$给出。
• 应用轨道积分的转移，比较$\mathrm{GL}_d(F)$与$D^\times$上的分布，从而在上同调设定下实现特征标的比较。
• 利用紧致群$D^\times / \varpi^\mathbb{Z}$的特征正交性，推导出$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$中像的精确系数$(-1)^{d-1}d$，对应于$\mathrm{JL}(\rho)$。
• 依赖于格罗滕迪克群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$的结构及同构$\mathrm{JL}: R(D^\times) \xrightarrow{\sim} \overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$，以解释上同调结果。
• 结合[Mie10b]与[Dat07]的结果，推导出只有与$\mathrm{JL}(\rho)$具有相同 cuspidal 支持的离散系列表示才可能出现在$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lubin-Tate上拉丛的$\ell$-进上同调的$\rho$-同态分量$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$如何与$D^\times$的局部Jacquet-Langlands对应关系相关？
• RQ2 Lefschetz迹公式能否在不依赖超临界表示的紧致诱导描述的前提下，推导出$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$的特征标理论信息？
• RQ3 $H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在模抛物诱导的格罗滕迪克群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$中的精确像是什么？
• RQ4 该方法是否可推广至$\mathrm{GL}_d(F)$的非超临界表示？若可，它们在上同调中如何实现？
• RQ5 $H_{\mathrm{LT}}[\rho]$与$\rho$在$\mathrm{GL}_d(F)$中椭圆正则元素集合上的分布特征标之间有何关系？

主要发现

• 在格罗滕迪克群$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$中，$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$的像是恰好为$(-1)^{d-1}d[\mathrm{JL}(\rho)]$，证明了上同调实现了Jacquet-Langlands对应关系，且重数为$d$。
• $H_{\mathrm{LT}}[\rho]$非零，因为$\overline{R}(\mathrm{GL}_d(F))$中$\mathrm{JL}(\rho)$的系数非零。
• 若一个不可约椭圆表示$\pi$出现在$H_{\mathrm{LT}}[\rho]$中，则其cuspidal支持必须与$\mathrm{JL}(\rho)$匹配，这意味着$\pi = \mathrm{JL}(\rho)$。
• 对于在$\varpi^\mathbb{Z}$上平凡的$\mathrm{GL}_d(F)$的超临界表示$\pi$，其$\pi$-同态分量$H^{d-1}_{\mathrm{LT}}[\pi]$同构于$\rho^{\oplus d}$，其中$\rho = \mathrm{JL}^{-1}(\pi)$。
• $H_{\mathrm{LT}}[\rho]$在$\mathrm{GL}_d(F)$中椭圆正则元素集合上的分布特征标由一个局部常值函数$\theta_\rho$给出，该函数与$\rho$的特征标直接相关。
• 该方法避免使用哈里什-钱德拉的特征标理论，转而采用轨道积分的转移，从而实现更一般且灵活的方法，适用于其他Rapoport-Zink空间。