[论文解读] On the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower

Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文通过 $p$-进上同调构造了从 $ \mathrm{GL}_n(F)$ 的可接受 $p$-进表示到 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$ 的可接受 $p$-进表示的典范函子，其中 $D$ 是不变量为 $1/n$ 的中心除法代数，其基础为 Lubin-Tate 上塔的 $p$-进上同调。关键结果是：在 $\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$ 上关联层的上同调具有有限性与伽罗瓦等变性，从而实现局部 $p$-进 Langlands 对应，并验证了与 Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin 拼接构造的局部-全局相容性。

ABSTRACT

We prove a finiteness result for the p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower. For any n>=1 and p-adic field F, this provides a canonical functor from admissible p-adic representations of GL_n(F) towards admissible p-adic representations of Gal_F x D^*, where Gal_F is the absolute Galois group of F, and D/F is the central division algebra of invariant 1/n. Moreover, we verify a local-global-compatibility statement for this correspondence, and compatibility with the patching construction of Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin.

研究动机与目标

• 通过 Lubin-Tate 上塔的 $p$-进上同调，构造从可接受 $p$-进 $\mathrm{GL}_n(F)$-表示到可接受 $p$-进 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-表示的典范函子。
• 建立该对应与 Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin 全局拼接构造之间的局部-全局相容性。
• 验证上同调群是可接受的，并携带连续的伽罗瓦作用，从而推广了韦伊群作用。
• 为 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 之外的 $p$-进局部 Langlands 对应提供证据，包括 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应。
• 阐明 Lubin-Tate 上塔及其周期映射在 Rapoport-Zink 空间与周期域背景下的几何与表示论结构。

提出的方法

• 从 $\mathbb{F}_p$-向量空间上的光滑 $\mathrm{GL}_n(F)$-表示 $\pi$ 构造一个韦伊等变层 $\mathcal{F}_\pi$ 在 $\mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$ 上。
• 利用 Gross-Hopkins 周期映射 $\pi_{\mathrm{GH}}: \mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty} \to \mathbb{P}^{n-1}_{\breve{F}}$ 将 $\mathcal{F}_\pi$ 拉回到 Lubin-Tate 上塔的逆极限。
• 应用紧致刚性空间的 $\acute{e}$tale 上同调的有限性结果，证明 $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)$ 是有限维的，且当 $i > 2(n-1)$ 时消失。
• 证明上同调群携带可接受的 $D^\times$-作用，并通过韦伊下降数据连续地扩展为 $\mathrm{Gal}_F$-作用。
• 依赖于 $\mathbb{P}^{n-1}$ 的紧致性与周期映射的满射性，以确保上同调的有限性。
• 利用 Rapoport 的附录中关于可及与弱可及周期域的理论，分析周期域及其在晶体周期映射下的像的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lubin-Tate 上塔的 $p$-进上同调是否给出从 $\mathrm{GL}_n(F)$-表示到 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-表示的典范函子？
• RQ2 由此得到的上同调是否是可接受的，并与伽罗瓦作用相容，从而推广了韦伊群作用？
• RQ3 该构造是否与 Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin 的全局拼接构造满足局部-全局相容性？
• RQ4 该构造能否被解释为 $\mathrm{GL}_n(F)$ 与 $D^\times$-表示之间的 $p$-进 Jacquet-Langlands 对应？
• RQ5 在何种条件下，晶体周期映射的像等于周期域中的可接受区域？

主要发现

• 上同调群 $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_C, \mathcal{F}_\pi)$ 与 $\breve{F}$ 的代数闭完全扩张 $C$ 的选取无关，且当 $i > 2(n-1)$ 时消失。
• 对所有 $i \geq 0$，上同调 $H^i_{\acute{e}t}(\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{C}_p}, \mathcal{F}_\pi)$ 是 $D^\times$-表示的可接受表示。
• 韦伊群 $W_F$ 在上同调上的作用可连续地扩展为绝对伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}_F$ 上的作用。
• 该构造给出了从可接受 $\mathrm{GL}_n(F)$-表示到可接受 $\mathrm{Gal}_F \times D^\times$-表示的典范函子，实现了 $p$-进局部 Langlands 对应。
• 该对应与拼接构造相容：将拼接构造与该函子复合，可恢复原始伽罗瓦表示（当 $n=2$ 时，见推论 9.3）。
• 当局部希格斯簇来自 EL 或 PEL 型 RZ 空间时，晶体周期态射的像与周期域中的可接受区域 $\mathcal{F}(G,b,\{\mu\})^{\rm a}$ 重合。