[論文レビュー] Left fibrations and homotopy colimits II

Gijs Heuts, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、小さな単体的圏 𝔄 における単体的図式の射影的モデル構造と、𝔄 のホモトピー型同調神経の上での共変モデル構造の間で、クイレン同値を確立する。ホモトピー余極限を通じて左クイレン関手を構成し、それがクイレン同値であることを示し、通常の圏に対する以前の結果を一般化するとともに、ルーリエのストレートナイン・アンストレート同値の対称的類似を提供する。

ABSTRACT

For a small simplicial category A, we prove that the homotopy colimit functor from the category of simplicial diagrams on A to the category of simplicial sets over the homotopy-coherent nerve of A provides a left Quillen equivalence between the projective model structure on the former category and the covariant model structure on the latter. We compare this Quillen equivalence to the straightening-unstraightening equivalence previously established by Lurie, where the left adjoint goes in the opposite direction. The existence of left Quillen functors in both directions considerably simplifies the proof that these constructions provide Quillen equivalences. The results of this paper generalize those of part I, where A was an ordinary category. The proofs for a simplicial category are more involved and can be read independently.

研究の動機と目的

• 通常の圏から単体的圏へのホモトピー余極限のクイレン同値を一般化すること。
• 逆方向の左クイレン関手を構成することで、ルーリエのストレートナイン・アンストレート同値に対する対称的クイレン同値を確立すること。
• 両方向への左クイレン関手の提示を通じて、クイレン同値の証明を単純化すること。
• 通常の圏よりも洗練された技術を要する単体的圏の文脈に、左ファイブレーションおよびホモトピー余極限の枠組みを拡張すること。
• 単体的関手によって誘導される関手の間に自然変換を定義し、その関手がコフェイブルな対象上で弱同値であることを示し、導来関手との整合性を保証すること。

提案手法

• 関手 $ h_! : \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ を、$ h: \mathbf{A}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ の単体的左カルタン拡張として定義する。ここで $ h(a) = a/w^*\mathbf{A} $ である。
• $ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ に射影的モデル構造、$ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ に共変モデル構造を導入する。
• $ h_! $ が左クイレン関手であり、クイレン随伴 $ (h_!, h^*) $ の一部であることを示す。
• $ h_! $ と関手 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ の合成が、自然にホモトピー余極限関手 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $ と同値であることを証明する。
• 射影的コフェイブルな対象上で、$ (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $ という自然変換 $ H $ が共変弱同値であることを用いて、導来関手の整合性を確立する。
• ルーリエのストレートナイン・アンストレート構成から得られる随伴対 $ (r_!, r^*) $ を活用し、$ \mathbf{A} $ がファイブレーション的であるとき、$ (h_!, h^*) $ と $ (r_!, r^*) $ が両方ともクイレン同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的圏 𝔄 における単体的図式から $ w^*\mathbf{A} $ 上の単体的集合へのホモトピー余極限関手は、クイレン同値に拡張可能か？
• RQ2 通常の圏のケースを一般化して、単体的圏の文脈において図式と上付き圏の間のクイレン同値を確立できるか？
• RQ3 新しい左クイレン関手 $ h_! $ は、逆方向のルーリエのストレートナイン・アンストレート同値とどのように関係するか？
• RQ4 単体的関手 $ F: \mathbf{A} \to \mathbf{B} $ によって誘導される自然変換は、コフェイブルな対象上で弱同値か？これにより導来関手の整合性が保証されるか？
• RQ5 $ \mathbf{A} $ がファイブレーション的単体的圏であるとき、クイレン対 $ (h_!, h^*) $ がクイレン同値であるための条件は何か？

主な発見

• 関手 $ h_! $ は、$ \mathbf{sSets}^{\mathbf{A}} $ の射影的モデル構造から $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} $ の共変モデル構造への左クイレン関手であり、クイレン随伴を形成する。
• $ h_! $ と関手 $ \mathbf{sSets}/w^*\mathbf{A} \to \mathbf{sSets} $ の合成は、自然にホモトピー余極限関手 $ \mathrm{hocolim}_{\mathbf{A}} $ と同値である。
• ファイブレーション的単体的圏 $ \mathbf{A} $ に対して、クイレン対 $ (h_!, h^*) $ はクイレン同値である。
• 導来関手 $ \mathbf{L}h_! $ は、$ \mathbf{L}(w^*F)_! $、$ \mathbf{L}h_! \circ \mathbf{L}r_! $、および $ \mathbf{L}\overline{F}_! $ を含む自然同型の系列を通じて右準逆を有する。ここで $ \overline{F} $ はカテゴリカル同値である。
• ルーリエのストレートナイン・アンストレートから得られる随伴対 $ (r_!, r^*) $ は、同様にクイレン同値であり、$ \mathbf{L}r_! $ は左準逆を有する。これにより、その導来同値性が確認される。
• 射影的コフェイブルな対象上で評価したとき、自然変換 $ H: (w^*F)_! \circ h_!^\mathbf{A} \to h_!^\mathbf{B} \circ F_! $ は共変弱同値である。これにより、導来関手の整合性が保証される。