[論文レビュー] Left localizable rings and their characterizations

V. V. Bavula|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の非ゼロ元がある左局所化において可逆になる環である左局所化可能環を導入する。有限個の最大左分母集合を持つ環について、その最大左商環が除法環の有限直積であるときに限り、左局所化可能であることが示され、この条件下での完全な特徴付けが与えられる。

ABSTRACT

A new class of rings, the class of left localizable rings, is introduced. A ring $R$ is left localizable if each nonzero element of $R$ is invertible in some left localization $S^{-1}R$ of the ring $R$. Explicit criteria are given for a ring to be a left localizable ring provided the ring has only finitely many maximal left denominator sets (eg, this is the case if a ring has a left Artinian left quotient ring). It is proved that a ring with finitely many maximal left denominator sets is a left localizable ring iff its left quotient ring is a direct product of finitely many division rings. A characterization is given of the class of rings that are finite direct product of left localization maximal rings.

研究の動機と目的

• 左局所化可能環と呼ばれる新しい環のクラスを定義し、その性質を調査すること。ここで、任意の非ゼロ元がある左局所化において可逆になる。
• 有限個の最大左分母集合を持つという条件下で、左局所化可能環を特徴づけること。
• 左局所化可能環と除法環の有限直積との間の構造的関係を、それらの左商環を通じて確立すること。
• 環が有限個の左局所化最大環の直積に同型であるための基準を提供すること。
• 左オーレ集合のコアの構造と、それが左局所化可能環を特徴づける上で果たす役割を分析すること。

提案手法

• 任意の非ゼロ元が、ある左局所化 $ S^{-1}R $ において可逆になる環として左局所化可能環を定義する。
• 最大の正則左分母集合 $ S_0 $ を用いて、最大左商環 $ Q_l(R) = S_0^{-1}R $ を用いる。
• 最大左分母集合 $ S_1, \dots, S_n $ 及びそれらに付随するイデアル $ \mathfrak{a}_i = \text{ass}(S_i) $ の構造を用いる。
• 環の構造と局所化の性質を関係付けるために、自然な準同型 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $ を適用する。
• 左オーレ集合 $ S $ のコア $ S_c $ を、$ \ker(s\cdot) = \text{ass}(S) $ を満たす $ s \in S $ の集合として定義し、$ S_c^{-1}R \simeq S^{-1}R $ を証明する。
• 同型 $ \theta: S_c^{-1}R \to S^{-1}R $ を用いて、局所化がコアにのみ依存することを示し、構造解析を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、環が任意の非ゼロ元が可逆になる左局所化をもつのか？
• RQ2 有限個の最大左分母集合を持つ環について、その構造的条件は、それが左局所化可能であることを示唆するか？
• RQ3 左局所化可能環は、その左商環を通じて、どのように除法環の有限直積と関係づけられるか？
• RQ4 左オーレ集合のコアは、左局所化可能環を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 どのような条件下で、環が有限個の左局所化最大環の直積に同型になるか？

主な発見

• 環 $ R $ が有限個の最大左分母集合を持つとき、$ R $ が左局所化可能であることは、その最大左商環 $ Q_l(R) $ が除法環の有限直積であることに同値である。
• 自然な写像 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $ は単射であり、すべての $ S_i^{-1}R $ が除法環であることは、$ R $ が左局所化可能であることと同値である。
• 左局所化半径 $ \mathfrak{l}_R $ が消えることは、$ R $ が左局所化可能であり、かつ有限個の最大左分母集合を持つことと同値である。
• 左局所化可能な環で $ n = |\text{max.Den}_l(R)| < \infty $ であるとき、古典的左商環 $ Q_{l,cl}(R) $ は $ n $ 個の除法環の直積と同型である。
• 最大左分母集合 $ S_i $ のコア $ S_{i,c} $ は、$ n \geq 2 $ のとき $ S_{i,c} = S_i \cap \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{a}_j $ を満たす。ここで $ \mathfrak{a}_j = \text{ass}(S_j) $ である。
• $ n = 1 $ のとき、$ S_{1,c} = S_1 = R \setminus \{0\} $ であり、これは $ R $ が整域であり、$ S_1 $ がすべての非ゼロ元の集合であることを意味する。